Глава 4 Теоретические основы

На практике те алгебраические уравнения, которые получаются в результате описанного в § 3.1 процесса дискретизации, формируются на сетке конечного размера. Исходя из выражений для ошибки усечения, данных в § 3.2 и 3.3, следует ожидать, что более точные решения могут быть получены на более мелких сетках. Этот аспект подвергается дальнейшему рассмотрению в § 4.4. Однако если считать требуемую точность решения заданной, то с точки зрения экономичности может оказаться выгоднее решать задачу на грубой сетке с помощью конечно-разностной схемы высокого порядка, чем применять схему низкого порядка на мелкой сетке. Эти соображения приводят к понятию вычислительной эффективности, изучаемому в § 4.5.

Важный вопрос, относящийся к вычислительным решениям состоит в том, до какой степени мы можем гарантировать, что вычислительное решение дифференциального уравнения (или уравнений) в частных производных будет близко к точному решению того же уравнения, а также при каких условиях это вычислительное решение совпадает с точным. Очевидный ответ на вторую часть этого вопроса состоит в том, что следует требовать, чтобы приближенное (вычислительное) решение сходилось к точному, по мере того как размеры элементов сетки

и Ajc уменьшались до нуля (см. § 4.1). Однако сходимость очень трудно установить прямым путем, поэтому обычно используют обходной путь, такой, как на рис. 4.1. Этот обходной путь связан с требованием о том, чтобы система алгебраических уравнений, полученных в результате процесса дискретизации (см. § 3.1), была согласованной (см. § 4.2) с исходным дифференциальным уравнением (или уравнениями) в частных производных. Согласованность означает, что при помощи разложения в ряд Тейлора процесс дискретизации может быть обращен с целью восстановления исходного уравнения (уравнений). Кроме того, алгоритм, который служит для решения алгебраических уравнений и, таким образом, позволяет получить приближенное решение Г, должен быть устойчивым (см.

§ 4.3). В конце концов, чтобы судить о сходимости, привлекается псевдоуравнение

СОГЛАСОВАННОСТЬ + УСТОЙЧИВОСТЬ = СХОДИМОСТЬ. (4.1)

Условия, при которых утверждение (4.1) является точным, обеспечиваются теоремой Лакса об эквивалентности (см. п. 4.1.1).

Исходное Аис)ферекциаль ное уравнение

в частных производных L(T)

Дискретизация

: Согласованность

Система алгебраических уравнений

Устойчивость

Приближенное решение Г

~ Сходимость - при Дх, ДГ->0

Точное решение Г

Рис. 4.1. Концептуальная связь между согласованностью, устойчивостью и

сходимостью.

Крайне трудно получить теоретическую рекомендацию по определению поведения решения на сетке конечного размера. Строго говоря, большинство полезных теоретических результатов применимо только в пределе, когда сетка сжимается до нулевых размеров. Однако взаимосвязи, установленные между сходимостью (§ 4.1), согласованностью (§ 4.2) и устойчивостью (§ 4.3), также являются качественно полезными при определении свойств вычислительных решений на сетках конечного размера.

§ 4.1. Сходимость

Решение алгебраических уравнений (рис. 4.1), аппроксимирующих заданное дифференциальное уравнение в частных производных, называют сходящимся, если это приближенное решение приближается к точному решению дифференциального уравнения в частных производных для любого значения независимой переменной, по мере того как размеры ячеек сетки приближаются к нулю. Таким образом, мы требуем, чтобы

7?->Г(х/, tn) при ЛхО, А->0.

Разность между точным решением дифференциального уравнения в частных производных и точным решением системы

алгебраических уравнений называется ошибкой решения к обозначается символом е\ таким образом,

в? = Г(ху, /.)-Г (4.2)

Точное решение системы алгебраических уравнений является приближенным решением исходного дифференциального уравнения в частных производных. Решение системы алгебраических уравнений точное, если в процессе вычисления в него не внесено численных ошибок, например типа ошибок округления. Как правило, величина ошибки е в (/, п)-м узле зависит от размеров ячеек сетки Дл: и At, а также от значений тех высших производных в данном узле, которые не были учтены при формулировке конечно-разностных аппроксимаций производных в рассматриваемом дифференциальном уравнении.

Доказательство того, что решение системы алгебраических уравнений сходится к решению дифференциального уравнения в частных производных, в общем случае очень затруднительно даже для простейших задач. Применительно к приближенному решению уравнения диффузии с использованием простого алгоритма ВВЦП в форме (3.41) доказательство сходимости при 5 1/2 дается в работе [Noye, 1984]. Крайне трудно установить сходимость в тех случаях, когда дифференциальное уравнение в частных производных сложнее, чем уравнение диффузии, а метод дискретизации не столь непосредствен.

Лишь немногие задачи гидроаэродинамики обладают точными решениями, а если таковых нет, то для вывода о сходимости следует строить вычислительные решения на последовательно измельчаемых сетках (см. п. 4.1.2).

4.1.1, Теорема Лакса об эквивалентности

Для некоторого ограниченного класса задач можно устанавливать сходимость, пользуясь теоремой Лакса об эквивалентности [Richtmyer, Morton, 1967]:

Если имеется корректно поставленная линейная задача с начальными условиями и конечно-разностная аппроксимация к этой задаче, удовлетворяющая условию согласованности, то устойчивость является необходимым и достаточным условием сходимости.

Несмотря на то что эта теорема сформулирована для конечно-разностной аппроксимации, она остается применимой и к любой процедуре дискретизации, приводящей к появлению узловых неизвестных, например к методу конечных элементов. Теорема Лакса об эквивалентности очень важна, так как дает возможность сравнительно легко установить устойчивость алго-