Как нетрудно видеть, дифференциальное уравнение в частных производных (4.4) отличается от уравнения диффузии (3.1) наличием добавочных членов, входящих в выражение для величины £/, называемой ошибкой аппроксимации. Происхождение этих добавочных членов связано с дискретизацией производных дТ/dt и дТ/дх, выполненной соответственно по формулам (3.21) и (3.24).

Очевидно, что по мере того как размеры ячеек сетки становятся все меньше и меньше, ошибка аппроксимации £/ в некоторой фиксированной точке (х/, tn) будет стремиться к нулю. В пределе, когда Ал:->0, А/->0, алгоритм ВВЦП (3.41) становится эквивалентным уравнению диффузии. Это свойство и называется согласованностью.

В применении к алгоритму ВВЦП ошибка усечения в общем случае имеет порядок О (А/, Ал:). Однако если функция Т удовлетворяет уравнению диффузии (3.1), то она удовлетворяет и уравнению

Поэтому выражение для ошибки аппроксимации можно переписать в форме

= 0.5а Ax[s I) [15-] + О {М\ Ах). (4.7)

Если 5 = 1/6, то первый член правой части вышеприведенного выражения обращается в нуль и ошибка аппроксимации имеет порядок 0(At, Ах), или, что то же самое, при фиксированном 5,- порядок 0(Ал:). В этом случае по мере уменьшения размеров ячеек ошибка аппроксимации устремляется к нулю быстрее, чем при любом другом значении 5. Можно напомнить, что, как указывалось в п. 4.1.2, при s= 1/6 ошибка решения также приближается к нулю быстрее, чем при любом другом значении (рис. 4.2).

Из проведенных выше рассуждений ясно, что с помощью таких же алгебраических манипуляций можно сделать вывод о согласованности, а также о вероятной степени сходимости.

4.2.2. Чисто неявная схема

Здесь мы исследуем наличие согласованности при дискретизации по чисто неявной схеме (7.20), примененной к уравнению диффузии (3.1). Чисто неявная схема определяется соотношением

- sTlH +{1+ 2s) - sTjtl = Tl (4.8)

Чтобы продемонстрировать согласованность, легче всего начать с эквивалентной формы представления соотношения (4.8), соответствующей точному решению,

Во-первых, члены f / и fiti разлагаются в ряд в окрестности (/, п-{-1)-го узла и результат этого разложения подставляется в (4.9). Таким образом, получим

+ (w)[C+---} = 0- (4.10)

Во-вторых, члены Г и [7::1 и т. д., входящие в соотношение (4.10), разлагаются в окрестности (/, п)-го узла. Это дает результат

[ft];+(0.5 АО [ftt]; + () [Тр] +

- а [Т ]; + А/ [Г..,]; + (0.5 А/2) [7V ]; + + (nf) ([Tci; +

+ А/ [f,.]; +...) + (Ig-) ([м; +...)...= 0. (4.11)

В качестве следствий исходного уравнения получим

f. = af.., f = a2f.s r , = a3f,e (4.12)

и используем тождество 5 = aAt/Ax или Ах = На этом

основании уравнение (4.11) приводится к виду

[ft-af ]; + E} = 0, (4.13)

где ошибка усечения выражается формулой £ = -0.5A/(l +J)[f4

-(-)(+i + w)l 4+----(4-14)

Очевидно, что если At стремится к нулю, то и Ej стремится к нулю, а уравнение (4.13) совпадет с исходным уравнением. Это означает, что соотношение (4.8) согласуется с исходным уравнением.

В выражении (4.14) все производные по пространству были преобразованы в эквивалентные им производные по времени. С помощью уравнений (4.12) можно выразить ошибку аппроксимации в зависимости только от пространственного размера ячейки сетки и от пространственных производных, как в выражении по формуле (4.7). Если сравнить формулу (4.14) с формулой (4.7), то ясно, что невозможно подобрать такое значение 5, которое позволило бы уменьшить ошибку аппроксимации с использованием чисто неявной схемы до величины порядка О {Ах).

Из рассмотрения двух вышеприведенных примеров могло бы показаться, что согласованность обеспечивается автоматически. Однако попытки построения таких алгоритмов, которые были бы одновременно точными и устойчивыми, могут иногда приводить к потенциально несогласованным вариантам дискретизации, как это имеет место, например, со схемой Дюфорта - Франкела (см. п. 7.1.2).

§ 4.3. Устойчивость

Если при решении системы алгебраических уравнений (см. рис. 3.1 и 4.1) возникают некоторые неконтролируемые возмущения (наподобие ошибки округления), то такие возмуще-

О 0.5 X 1.0

Рис. 4.3. Решение уравнения (3.41) при s = 0.6; неустойчивое поведение.

ния имеют тенденцию к затуханию. Устойчивое решение, полученное с использованием схемы ВВЦП при 5 = 0.5, показано на рис. 3.15. Типичный неустойчивый результат (5 = 0.6) приведен на рис. 4.3. Оба этих результата были получены при Дл: = 0.1 и тех же начальных и граничных условиях, которые использовались для графиков на рис. 3.15.

Из графика на рис. 4.3 видно, что на линии симметрии возникает колебание нефизического характера, которое распространяется затем в направлении границ. Амплитуда этого колебания со временем возрастает.