а это справедливо для всех т, если 5 1/2. Поэтому алгоритм ВВЦП является устойчивым, если 51/2.

Форма матричного уравнения (4.19) остается той же самой, если в формулах (4.18) будет фигурировать не вычислительная ошибка, а само решение. Следовательно, матричному методу можно дать и другую интерпретацию как методу, исследующему рост индивидуальных мод в представлении начальных условий с помощью ряда Фурье.

Как будет указано в п. 4.3.3, изменение характера граничных условий при X = 0 и/или X = 1 приводит лишь к незначительной модификации метода.

4,3.2. Матричный метод: двухслойная схема обиего вида

В данном пункте мы покажем, как работает матричный метод в случае двухслойной схемы общего вида, примененной к уравнению диффузии. Эта схема, данная в форме (7.24),. имеет вид

7 - Р-г - а (1 - Р) L..r? == О, (4.23)

где LxxT = (Гу 1 - 2Г,. + Т,)/Ах.

В уравнении (4.23) величина а - коэффициент тепловой диффузии, тогда как параметр р контролирует степень неявности (см. § 7.2). Численная ошибка (4.15) определяется уравнением, эквивалентным (4.23). Это уравнение записывается в форме

- s-l + (1 + 2sP) Г - sfiini = 5(1 - Р)f-i +

+ [l-2s(l-P)]E/+5(l-P)gi. (4.24)

Уравнение (4.24) пригодно для внутренних узлов. При наличии граничных условий Дирихле уравнения в концевых точках не требуются. Если уравнение (4.24) повторить для всех узловых точек, где / = 2, 3, / -1, то в матричной форме можно написать

АГ- = ВГ, (4.25)

Правая часть этого неравенства удовлетворяется при всех т и s, тогда как для выполнения его левой части необходимо, чтобы было

1 + 2sp - sp - sP 1 + 2sp - sp

- sP 1 + 2sp - sp

- sp l+2sp

l-2s(l-P) s(l-p) s(l-p) l-2s(l-p) s(l-p)

s(l p) l 2s(l p) s(I-p)

s(I-P) I-2s(l-p)

Алгоритм (4.23) остается устойчивым, если величины собственных значений матрицы А-В не превышают единицы. С учетом структуры матриц А и В это эквивалентно ограничению

\{в)тШпг\<1-0. (4.26>

Принимая во внимание симметричный трехдиагональный характер матриц А и В, можно получить аналитические выражения для собственных значений [Mitchell, Griffiths, 1980]

X=l+2sp-2spcos(-)= .

==,+4spsin(J), Ab=1-2s(1-P) + 2s(1-P)cos (7) =

= l-4s(l-p) sin2 ((). Следовательно, условие устойчивости имеет вид

ST =

l-4s(l-P) sinMM/2 (/- 1)1

1 + 4sP sin2 [jn/2 (J - 1)1

<1,

причем

ST=1

ST =

l-4s(l-p)

l+4sp

при sin(-J-jj-) =

< 1 при sin ( 2 (Г- 1) )

0, 1,

t. e. необходимо, чтобы 1 - 4s (1 - p) < 1 + 4sp, что удовлетворяется, и чтобы 1 - 4s(l - Р) -1 - 4sp, иначе говоря чтобы 2>4s(l-2р), или s < 0.5/(1 - 2р), если р < 0.5.

Следовательно, если р < 0.5, то для устойчивости требуется, чтобы 5 < 0.5/(1-2р). Если р 0.5, то алгоритм (4.23) является безусловно устойчивым. Весьма желательное свойство безусловной устойчивости будет подробнее обсуждаться в § 7.2.

4.3.3. Матричный метод: граничные условия для производных

Матричный метод может применяться и тогда, когда граничные условия имеют форму Неймана, т. е. когда они формулируются для производных. Предположим, что

дТ дх

= 6 при х = 0.

(4.27)

Это условие можно реализовать путем введения фиктивной точки Го, такой, что

1дх Ji

= 6 =

Т.-То

2 Ajc

или Го = Гг - 26 Ах.

Если это соотношение использовать для функции распределения ошибок, то в сочетании ,с (4.24) такой прием даст следующее соотношение, центрируемое в узле с номером 1:

<1 + 25р) l; - ~ 2sp2 = [1 ~ 2s (1 ~ Р)] 25 (1 - Р) 2 - 2s6 Ал:.

(4.28)

Следовательно, если рассмотреть все подобные уравнения, то

АГ = вГ + с,

1 + 2sp -2sp

- sp I + 2sp - sp

- sp 1 + 2sP - sP

-sp l + 2sp

l-2s(l-p) 2s(l-P)

s(l-p) l-2s(l-P) s(l-P)

(4.29)

0 0 0 0

s(l-p) l-2s(l-p) s(l-P)

s(l-p) l-2s(l-P)