XXJ - -ДТ2-

и а - коэффициент тепловой диффузии, а р - параметр, контролирующий степень неявности.

Для анализа устойчивости методом Неймана введем ряд Фурье (4.32), определяющий ошибку как разность между истинным численным решением и численным решением, искаженным за счет ошибок округления; эта величина определяется формулой (4.15). Поскольку уравнение (4.38) линейно, ш выражение для / вводится единственная компонента Фурье, так что

g=(G)%% (4.39)

где i={-l), а / - номер узла сетки. С помощью подстановки получим

п jej 2(cos9- 1) = (G) е--.

В результате уравнение (4.38) принимает вид

£6/ 2 (cos 9-1) ---

I /1 04/iO4 je/ 2 (cos 9 - 1) + а(1-P)(G) в--= 0.

дает

G-1 gpg [2 cos 9-1)1 . (1 - Р) [2 (cos 9-1)1 ~--- ~ ~

(Gfej(Grel n+i £8/ 2 (cos 9-1)

Деление всех членов на (G)V дает

.или

l-4s(l-P)sin49/2) - 1 + 4sP sin2 (е/2)

что справедливо, если 5 1/2. Этот результат совпадает с результатом, установленным с помощью матричного метода.

4,3.5, Метод Неймана: двухслойная схема общего вида

Здесь мы покажем, как проводится анализ устойчивости по Нейману применительно к неявной двухслойной схеме общего вида (7.24). Ошибки округления, связанные с использованием этой схемы, распространяются в соответствии с тем же уравнением

- 1 apL gr - а (1 ~ Р) = О, (4.38)

Устойчивость имеет место, если G 1 при любом значении 9. Для предельных значений получаем

G = 1 при sin (0/2) = О,

G = [1 - 45(1 - Р)]/[1 + 45Р] при sin (0/2) = 1. Если G<1, то 1 -45(1 -р)<1+45Р или 5 > 0. Если G> -1, то 1 -45(1 -р)>-1 -45Р или 5 < 0.5/(1 - 2р).

Вышеуказанные ограничения согласуются с теми результатами, которые приводятся в п. 4.3.2 и 7.2.2. Если рассматриваются более сложные уравнения, то может оказаться необходимым определить устойчивость при помощи формулы, эквивалентной (4.40), в некотором диапазоне значений 0, р, 5 и т. д. Зачастую это проводится численно.

Если исследуются алгоритмы, имеющие дело с тремя слоями по времени, т. е. такие, как в п. 7.2.3, то для установления ограничений, обусловливающих устойчивость, следует решить квадратное уравнение для G. Для большинства проблем гидроаэродинамики необходимо рассматривать систему определяющих уравнений. В этом случае вместо коэффициента усиления G анализ устойчивости по Нейману приводит к матрице усиления G. При этом соответствующее условие устойчивости имеет вид

lm 1=1-0 при любых т, (4.41)

где \т - собственные значения матрицы G.

В данном параграфе всегда предполагалось, что первоначальная физическая задача устойчива. Однако может случиться и так, что подлежащие расчету течения являются физически неустойчивыми; такова, например, задача о переходе ламинарного течения в турбулентное. Для течений такого рода решение, возрастающее со временем, должно быть приемлемым. Чтобы получить возможность учета таких решений, мы должны потребовать, чтобы величины собственных значений при использовании матричного метода (п. 4.3.1) или коэффициента усиления при использовании метода Неймана (п. 4.3.4) были меньше, чем 1 + 0(ДО- Это условие заменяет неравенства (4.20) и (4.36). Дальнейшее обсуждение этого вопроса можно найти в книге [Richtmyer, Morton, 1967].

Более полное обсуждение вопросов устойчивости дискрети-зированных уравнений имеется в книгах [Mitchell, Griffiths, 1980; Isaacson, Keller, 1966; Richtmyer, Morton, 1967], a также в книге Рихтмайера и Мортона. Согласно общему мнению, матричный метод определения устойчивости не столь надежен.

как метод Неймана. Причины такого утверждения обсуждаются в работах [Morton, 1980; Hindmarsh et а ., 1984] в связи с исследованием одномерного уравнения переноса (9.56). Проблема устойчивости дискретизированных уравнений вблизи границ лежит за пределами охвата данной книги (см. [Sod, 1985, ch. 5]).

§ 4.4. Точность решения

Строго говоря, проведенное выше обсуждение проблем сходимости, согласованности и устойчивости касалось поведения приближенного решения в пределе М-О. Однако на

практике приближенные решения строятся на сетке конечных размеров и соответствующая точность имеет немаловажное значение.

При определении согласованности, проведенном в § 4.2, было получено явное выражение для ошибки аппроксимации. Применительно к точному решению дифференциального уравнения в частных производных можно дать оценку точности представления отдельных членов с производными, как это сделано в § 3.3. Совокупность таких членов, собранных вместе, дает представление о том, насколько хорошо алгебраическое уравнение согласуется с дифференциальным уравнением в частных производных. Как и следовало ожидать на основании изложенного в § 3.3, оценка главного члена в выражении ошибки аппроксимации для полного уравнения позволяет получить достаточную оценку ошибки.

Как указывалось в § 4.2, порядок величины ошибки аппроксимации, как правило, совпадает с порядком величины ошибки решения, если размеры ячеек сетки достаточно малы и если начальные и граничные условия являются достаточно гладкими. Как это нередко бывает, предполагаемое улучшение точности (через ошибку аппроксимации) с применением схем высокого порядка, по сравнению, скажем, со схемой второго порядка, не достигается вследствие недостаточной гладкости начальных условий, сформулированных для данной конкретной сетки. Измельчение сетки очень часто позволяет вместе с применением схемы высокого порядка получить и повышенную точность, однако абсолютный уровень этой точности оказывается таким, что он намного выше, а следовательно, и намного дороже, чем это необходимо. Так, для инженерных целей может требоваться точность в 1 7о, если измерять ее в среднеквадратичной ошибке. Схема четвертого порядка может продемонстрировать свое преимущество в точности над схемой второго порядка только при условии такого измельчения сетки, которое давало бы среднеквадратичную ошибку порядка 0.01 %. Пример по-