лобного же влияния негладкости начальных данных на точность приводится в работе [Fletcher, 1983].

Для задач, описываемых гиперболическими дифференциальными уравнениями в частных производных, во внутренних частях расчетных областей могут создаваться разрывы, а это заметно ограничивает достижимую степень точности, если только возникающие разрывы не будут изолированы от остальной части области и если не ограничиться поиском локального решения.

Один из путей определения точности конкретного алгоритма на сетке конечных размеров состоит в том, чтобы применить этот алгоритм к решению родственной, но более простой задачи, имеющей точное решение. В этом отношении весьма полезным является уравнение Бюргерса (см. § 10.1), так как оно моделирует конвективный и диффузионный члены уравнения импульсов и так как его точные решения могут быть получены для многих комбинаций начальных и граничных условий. Однако сама точность, помимо прочего, зависит от формулировки задачи, и тот алгоритм, который был достаточно точным для модельной задачи, необязательно будет столь же точным для первоначальной (и более сложной) интересующей нас задачи.

Вторая методика оценки точности состоит в том, чтобы строить решения на последовательно измельчаемых сетках (исходя из предположения о наличии соответствующих вычислительных возможностей) и проверять, будет ли при таком последовательном измельчении решение изменяться в рамках заранее предопределенной степени точности. Тем самым предполагается, что в пределе, когда А, Ллс и т. д.->-0, приближенное решение будет сходиться к точному и что приближенное решение на самой мелкой сетке может быть использовано взамен точного. Как правило, справедливость такого предположения невозможно гарантировать в применении к реальным задачам, а поэтому вычислительные решения полезно сравнить с надежными экспериментальными результатами (имеющими известную степень точности) для той же самой задачи. Например, можно воспользоваться данными о распределении давления на поверхности тела, чтобы проверить, насколько правдоподобным является решение на измельченной сетке. Обычно, однако, экспериментальные данные по данной конкретной проблеме и с достаточными подробностями оказываются недоступными в такой степени, чтобы позволить оценить глобальную среднеквадратичную ошибку.

Если предположить, что точность приближенного решения поддается оценке, то весьма важно рассмотреть и связанный

С ЭТИМ вопрос о том, как улучшить достигнутую точность, в самом широком представлении ответ на этот вопрос может сводиться к тому, чтобы дать возможность выбора зависимых переменных, например вместо скорости и давления взять завихренность и функцию тока. В качестве альтернативного варианта может подойти возможность различного выбора независимых переменных. Например, использование полярных координат будет давать более точные решения задачи о течении в трубе, чем это было бы с декартовыми координатами при одинаковом числе узловых точек.

Можно ожидать, что в некоторых специальных случаях применение схем высокого порядка или использование мелких сеток могут привести к построению более точных решений. Однако введение таких мер вряд ли будет оправдано, если не принимать во внимание время исполнения и, следовательно, вычислительную эффективность (см. § 4.5). На данном этапе мы рассмотрим лишь один специальный прием, позволяющий улучшить точность решения - экстраполяцию по Ричардсону.

4,4,1. Экстраполяция по Ричардсону

Как уже указывалось ранее (см. п. 4.1.2), численную демонстрацию сходимости можно реализовать путем построения последовательности решений на все более мелких сетках. Ошибка решения на достаточно мелкой сетке уменьшается вместе с размером ячейки так же, как ошибка аппроксимации (см. табл. 4.1). Эта последняя особенность объясняет введение экстраполяции по Ричардсону, используемой для улучшения точности решения на конечной (но мелкой) сетке. Основная идея состоит в том, чтобы сложить вместе взятые с соответствующими весами решения на последовательно измельчаемых сетках, сделав это так, чтобы свести к нулю главный лен суммарной ошибки аппроксимации. Однако форма выражения ошибки аппроксимации связана с разложением в ряд Тейлора по степеням локального размера ячейки. Поэтому неудивительно обнаружить, что для эффективности экстраполяции по Ричардсону последнюю следует проводить на сравнительно мелкой сетке.

Рассмотрим два решения уравнения диффузии, полученные путем применения схемы ВВЦП с двумя вариантами шагов по X, а именно Аха и Ахь, но при одном и том же значении 5. Составное решение строится в виде

Тс = аТа + ЬТь, (4.42)

где а и b - коэффициенты, подлежащие определению. Разложение членов в схеме ВВЦП, примененной к функции Тс в ряд

Тейлора в окрестности (/, п)-го узла, дает

- + [ 1/ + * ь]; = О, (4.43)

где, в силу формулы (4.7), имеем

= 0.5а (s -1) (Щ.) + О {Ах\

[,]; = 0.5аАд.(-1)() + О(А.).

Если = Лха/2, то главный член ошибки усечения для составной функции может быть сделан равным нулю при помощи формулы а + 0.256 = 0. Однако из (4.42) ясно, что а + b = 1. Поэтому а = -1/3 и b = 4/3, и, следовательно, составное решение Тс = (4/3)Гг, - (1/3)Га, как и следует ожидать, имеет ошибку решения порядка 0(Дл:) на достаточно мелкой сетке. Некоторые характерные значения среднеквадратичной ошибки приводятся в табл. 4.3 при 5 = 0.5. Для наиболее мелких сеток ошибка убывает как 0(Лл:). Однако, несмотря на то что применение экстраполяции по Ричардсону приводит к ловышению уровня точности на мелкой сетке, для грубых сеток имеет место обратная ситуация.

Таблица 4.3. Среднеквадратичные ошибки при экстраполяции по Ричардсону (RE)

Схема ВВЦП обладает необычным свойством - она может обеспечить четвертый порядок точности без применения экстраполяции по Ричардсону, а лишь за счет специального выбора 5 = 1/6. Это не имеет места ни для чисто неявной схемы (7,19), ни для схемы Кранка - Николсона (7.22), ни для каких-либо других схем. Однако для обеих упомянутых схем можно обеспечить четвертый порядок точности с помощью экстраполяции по Ричардсону. При выборе Ахь = Аха/2 соответствующее этому составное решение имеет форму

Т, = {4/3)Т,-тТа, (4.44)

уже упоминавшуюся выше.