Ал: М S Ал:3

где k - коэффициент пропорциональности. В результате имеем

2ak 2.25afe бак

Ы5 = 0.5 = -д , bls=0.5, RE == дз . =/бд1з-

Таким образом, можно видеть, что решение, соответствующее bTs=o.5, RE при Ал:а = 0.1, Ал:г, = 0.05, оказывается на 50 % точнее, чем решение, соответствующее ETso.s при Ал: = 0.025, однако время его исполнения в семь раз меньше. Далее, решение, соответствующее ETs=i/6 при Ал: = 0.05, примерно в двенадцать раз точнее решения, соответствующего ETs=o.5, re при /\хь = 0.025, при времени исполнения, в три раза меньшем. Ясно, что использование экстраполяции по Ричардсону эффективно, но в меньшей степени, чем в специальном случае

В общем случае выбор коэффициентов а и b определяется тем, какую степень по Ал: имеет главный член в выражении ошибки усечения (после эквивалентной замены At на Ал:), а также величиной отношения размеров ячейки Ал:а и Ахь. В результате получим

Если экстраполяцию по Ричардсону применить к какой-либо нестационарной задаче, например определяемой уравнением диффузии, то решения Ть и Та можно рассматривать как независимые решения, построенные на разных сетках в тот конечный момент времени, когда нам нужно рассчитать Тс. С учетом того обстоятельства, что экстраполяция по Ричардсону не воздействует на решение на промежуточных стадиях его построения, а лишь на окончательное решение, такой прием был назван пассивной экстраполяцией по Ричардсону [Dahlquist, Bjorck, 1974]. Если же после каждого шага по времени вычисляется величина Тс и это решение рассматривается как начальное, чтобы с его помощью рассчитать Та и Ть на следующем шаге по времени, то мы получим активную экстраполяцию по Ричардсону (см. только что цитированную книгу).

Весьма поучительно провести сравнение различных схем, перечисленных в табл. 4.3, с точки зрения времени исполнения решения (время центрального процессора). Для интегрирования, проводимого на конечном интервале времени, упомянутое время исполнения (execution time) может быть выражено как

S = 1/6. Однако такие специальные случаи весьма редки, в особенности для более сложных уравнений и алгоритмов, чем схема ВВЦП, примененная к уравнению диффузии.

§ 4.5. Вычислительная эффективность

Вопрос о том, какая точность может быть достигнута при заданном алгоритме решения, связана с вычислительной эффективностью этого конкретного алгоритма. Вычислительную эффективность можно определить как точность, достигаемую в расчете на единицу времени исполнения. Таким образом, алгоритм, при котором на грубой сетке достигается умеренная точность, а время исполнения мало, может оказаться столь же эффективным, как другой алгоритм, позволяющий получить высокую точность на мелкой сетке и требующий большего времени исполнения.

Вычислительная эффективность СЕ может определяться формулой

СЕ = А/(еЕТ),

где 8 - ошибка приближенного решения, представленная в соответствующей норме (например, в среднеквадратичной), а ЕТ - время исполнения. Вычислительная эффективность - это полезный критерий, позволяющий выяснить целесообразность введения конечно-разностных схем высокого порядка или же конечных элементов повышенного порядка.

Для большинства задач гидроаэродинамики применение схем высокого порядка (например, четвертого или выше) с конечными разностями или применение конечных элементов повышенного порядка (например, кубических или выше) не является оправданным с точки зрения повышенной вычислительной эффективности, особенно в отношении трехмерных задач. Однако во избежание чрезмерно большой численной диссипации и дисперсии (см. § 9.2) следует применять конечно-разностные схемы как минимум второго порядка или же линейные элементы.

При разработке различных вычислительных схем предпочтительно сравнение по вычислительной эффективности, а не только по точности или только по экономичности. Если сравниваются вычислительные схемы, расчет по которым ведется на одном и том же компьютере, то время исполнения может измеряться непосредственно. Если нельзя установить время центрального процессора, то следует обратить внимание на режим работы компьютера. Кроме того, нужно либо исключить, либо оценить ту долю времени исполнения, которая тратится на считывание данных и на печать результатов.

9 К. Флетчер, т. 1

4.5J, Оценка времени оперативного счета

В качестве альтернативы непосредственному замеру времени центрального процессора можно дать оценку времени оперативного счета, получаемую из распечатки расчета и из некоторых данных о сравнительном времени исполнения элементарных операций. Это может делаться на разных уровнях сложности. Как было установлено, нижеследующий подход дает вполне приемлемые оценки.

Первый шаг состоит в запуске программы, предназначенной для приближенного определения времени, затрачиваемого на операцию каждого типа. Типичная программа такого рода дается в приложении А.1 вместе с аналитическим описанием соответствующей процедуры. Главная цель этой программы состоит в определении относительного времени исполнения различных операций, поскольку такие времена могут варьироваться в широких пределах в зависимости от типа компьютера, операционной системы и компилятора. В табл. 4.4 приводятся относительные времена исполнения для типичных вариантов

Таблица 4.4. Относительные времена исполнения для основных операций

) Microsoft FORTRAN 77, действующий при MSDOS (8086/8087 процессор с плавающей запятой с ординарной точностью).

2) FORTRAN 77, неоптимизированный компилятор, действующий при UNIX (с ускорителем плавающей запятой).

) FTN5, неоптимизированный компилятор, действующий при операционной системе.

) FL -плавающая запятая.