микрокомпьютера, супермикрокомпьютера и полногабаритного компьютера, использующих язык Фортран.

Второй шаг состоит в том, чтобы идентифицировать важнейшие классы операций, вносящих вклады в суммарное время исполнения. Результаты, приводимые в табл. 4.4 для компьютера NEC-APC IV, могут быть распределены по следующим категориям операций, которые целесообразно выделить:

(a) операции с плавающей запятой FL (floating point),

(b) операции с фиксированной запятой РХ (fixed point),

(c) присваивания, т. е. знаки равенства, R (replacements),

(d) логические операторы, т. е. IF, GOTO и т. д. (L),

(e) математические библиотечные функции, т. е. SIN, ЕХР и т. д. (М).

Чтобы выразить время оперативного счета посредством единственного числа, следует каждой из перечисленных выше операций приписать некоторый относительный вес, так что, например, время оперативного счета можно измерять через эквиваленты операций с плавающей запятой. Характерное распределение весов для компьютера NEC-APC IV соответствовало бы формуле (основанной на данных табл. 4.4):

IFLeq = 20FX = 10R = 10L = 0.1М.

Для строк с 48 по 73 программы DIFF (см. п. 3.5.2), где следует исключить операторы WRITE, время оперативного счета (operation count) получается следующим:

ОРСТ = [3FL + 6FX + 5R -f 2L + (N - 2) (7FL+ 10FX+3R)] N,

где Na: - число шагов по л:, а - число шагов по /. Если = 11, то время оперативного счета одного шага по времени составляет ОРСТ = 74 FLeq. В процессе определения вышеуказанного времени оперативного счета для массива с индексами выделялась одна операция с фиксированной запятой для задания значения индекса.

Оценки времени оперативного счета особенно полезны для того, чтобы идентифицировать наименее экономичные части программы, а также чтобы проводить сравнительные оценки экономичности различных алгоритмов еще до составления и опробования программы. Вследствие различия особенностей быстродействия у различных компьютеров, а также усилий, требуемых для получения точных результатов, прикидки времени оперативного счета наиболее эффективны тогда, когда их используют для выяснения порядка величины различий во времени исполнения.

§ 4.6. Заключение

Для тех уравнений, которым подчиняется движение жидкости или газа, невозможно дать прямое подтверждение сходимости. Однако обычно нетрудно показать, что дискретизиро-ванная форма уравнений является согласованной (см. § 4.2). Обычно удается также показать, что линеаризованный вариант исходных уравнений обладает устойчивостью (см. § 4.3), хотя обоснование этого может потребовать расчетов на ЭВМ. Как следствие приведенных выше утверждений, теорема Лакса об эквивалентности обеспечивает необходимое, но недостаточное условие сходимости. На практике для проверки устойчивости обычно требуется проведение численных расчетов.

Как матричный метод определения устойчивости, так и метод Неймана, строго говоря, применимы только к линейным уравнениям, хотя оба метода дают некоторую информацию, если нелинейность локально замораживается. Альтернативным является энергетический метод, который может непосредственно применяться к некоторым разновидностям нелинейных уравнений. Описание этого метода приводится в книге [Richtmyer, Morton, 1967].

Необходимо подчеркнуть, что реальные задачи гидроаэродинамики рассчитываются на конечных сетках и что те теоретические свойства, которые основываются на допущении об устремлении размера ячейки к нулю, могут оказаться нереализуемыми на конкретной сетке конечного размера. Эта проблема, по-видимому, в большей степени относится к схемам высокого порядка.

Разложение в ряд Тейлора, используемое для установления согласованности (см. § 4.2), важно также и для получения явного выражения ошибки аппроксимации. Если учесть тесную взаимосвязь между ошибкой аппроксимации и ошибкой решения, по крайней мере на мелкой сетке, то все, что делается для уменьшения ошибки аппроксимации, будет, по-видимому, уменьшать и ошибку решения. Это может навести на мысль о специальном выборе s (=аД Ах2), как делалось при применении схем ВВЦП, или о выборе такой комбинации решений, которая сводит к нулю главный член в выражении ошибки аппроксимации, как при экстраполяции по Ричардсону п. 4.4.1).

Для стационарных задач существует еще один прием, называемый методом отложенной коррекции [Smith, 1965]. При реализации этого метода рассчитывается предварительное решение, на основании которого оценивается главный член в выражении для ошибки аппроксимации. Затем этот член добав-

ляется к первоначальному дискретизированному уравнению в качестве члена с источником и строится улучшенное решение. В принципе это улучшенное решение может быть использовано для новой оценки главного члена ошибки аппроксимации и весь процесс может быть повторен заново. Обычно наилучшая вычислительная эффективность достигается с одним единственным улучшенным решением.

Обращение в нуль главного члена в выражении ошибки аппроксимации может быть использовано также при построении схем высокого порядка. После осуществления начальной дискретизации главный член соответствующей ошибки аппроксимации дискретизируется и добавляется к первоначальной схеме. Пример такого подхода приводится в п. 9.3.2.

Практические задачи гидроаэродинамики нередко требуют построения вычислительного решения в сложных трехмерных областях, где мы имеем дело с тысячами неизвестных узловых значений. Применительно к таким крупномасштабным задачам предварительное представление об относительной вычислительной эффективности конкурирующих численных схем чрезвычайно важно получить до того, как мы перейдем к основной части вычислительного исследования. В книге [Finlayson, 1980] приводятся оценки затрачиваемой работы и сравнительной точности для метода конечных разностей, метода конечных элементов и метода ортогональной коллокации (см. § 5.1), применяемых к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, а также к решению дифференциальных уравнений в частных производных в одномерном и двумерном вариантах.

§ 4.7. Задачи

Сходимость (§ 4.1)

4.1. Модифицируйте программу DIFF путем использования вместо схемы ВВЦП нижеследующей пятиточечноп симметричной схемы. Для внутренних точек используйте аппроксимацию

а для / = 2 примените формулу

и эквивалентную этой формулу для / = JMAX - 1. Это точно такая же модификация, какая требовалась для решения задачи 3.7.

(a) Постройте решения при s = 0.3 для Лл: = 0.2, 0.1 и 0.05.

(b) Сравните степень уменьшения среднеквадратичной ошибки при убывании Ал: с тем, что имело место для схемы ВВЦП (см. табл. 4.1).