4.2. Повторите задачу 4.1, заменяя схему ВВЦП в программе DIFF следующей схемой:

0.57-;- - 27 } + 1.5Г + а (Г - 2Г? + Г j) -At----

Для расчета первого шага по времени используйте следующую формулу с-разностью по времени вперед:

дТ 7 + -

At

Это те же модификации, которые требовались при решении задачи 3.8. Согласованность (§ 4.2)

4.3. Подтвердите путем проверки, что схема, предложенная в задаче 4.1,. согласуется с исходным уравнением дТ/dt - адТ/дх = 0. Соответствует ли порядок ошибки аппроксимации той степени сходимости, которая была найдена при решении задачи 4.1? Рассмотрите как внутренние точки, так и точки (у = 2, JMAX - 1), примыкающие к границе.

4.4. Проверьте согласованность схемы, предложенной в задаче 4.2. Является ли степень сходимости, найденная при решении задачи 4.2, соответствующей порядку ошибки аппроксимации?

Устойчивость (§ 4.3)

4.5. Примените анализ устойчивости по Нейману к определению пределов устойчивости схемы, предложенной в задаче 4.1, для:

(a) внутренних точек,

(b) точек, примыкающих к границе, ; = 2 и JMAX - 1. Может оказаться удобным получить численную оценку выражения для амплитудного фактора G при варьируемых значениях 0 и s.

4.6. Примените анализ устойчивости по Нейману к определению пределов устойчивости схемы, предложенной в задаче 4.2. Это потребует решения квадратного уравнения относительно

4.7. Подтвердите правильность пределов устойчивости, найденных при решении задач 4.5 и 4.6, путем построения численных решений для неустойчивых значений 5.

4.8. Исследуйте устойчивость дискретизации уравнения dT/dt - - адЧ/дх = О, основанной на представлении с разностью вперед для df/dt и на формуле, предложенной в задаче 3.1 для дЧ/дх.

4.9. Примените матричный метод к схеме, предложенной в задаче 4.U и определите пределы устойчивости путем численного расчета собственных значений. Сравните результаты с теми, которые были получены при решении задачи 4.5. Как изменятся пределы устойчивости, если одно из условий Дирихле для функции Т заменить граничным условием Неймана?

Точность решения (§ 4.4)

4.10. Для схемы, рассмотренной в задаче 4.1, постройте алгоритм с экстраполяцией по Ричардсону, обращающий в нуль главный член выражения для ошибки аппроксимации. Определите численно, является ли эта схема более точной и может ли быть достигнуто теоретическое значение степени сходимости.

4.11. Для схемы, рассмотренной в задаче 4.2, постройте алгоритм с экстраполяцией по Ричардсону и сравните соответствующие численные решения с теми, которые были получены при решении задач 4.1 и 4.2.

Вычислительная эффективность (§ 4.5)

4.12. Для схемы, предложенной в задаче 4.10, определите время оперативного счета и сравните с тем временем, которое соответствует схеме ВВЦП, если с применением обеих схем достигается одинаковая точность.

4.13. Для схемы, предложенной в задаче 4.11, определите время оперативного счета и сравните с

(a) временем счета для схемы ВВЦП, если обе схемы дают одинаковую точность,

(b) временем счета для схемы ВВЦП с экстраполяцией по Ричардсону.

4.14. Попытайтесь установить, какая из схем, рассмотренных в данной главе, является наилучшей , если принять во внимание вычислительную эффективность, ограничения на устойчивость и простоту составления программы.

Глава 5

Методы взвешенных невязок

Методы взвешенных невязок (МВН) концептуально отличаются от метода конечных разностей тем, что МВН исходят из предположения о возможности аналитического представления решения. Например, для построения решения уравнения диффузии (3.1) можно допустить представление приближенного решения в следующем виде:

Г=ЕаДО/М, (5.1)-

где cii{t)-неизвестные коэффициенты, а ф]{х)-известные аналитические функции. Функции ф1(х) часто называют пробными функциями, а решение в форме {ЪЛ)- пробным решением. За счет принудительно навязываемого характера аналитической формы решения в виде (5.1) вносится некоторая ошибка, если только индекс / не делается произвольно большим. При этом можно напомнить, что метод конечных разностей определяет решение только в узких точках.

В § 5.1 дается информация о различных методах взвешенных невязок. Далее, в п. 5.1.1 некоторые из этих МВН применяются к решению простого обыкновенного дифференциального уравнения, имея в виду обеспечить приемлемую базу для сравнения. Метод конечных объемов, описываемый в § 5.2, тесно связан с методом подобластей (см. § 5.1). Однако по форме представления дискретизации метод конечных объемов напоминает метод конечных разностей. Конкретные трудности применения метода конечных объемов при наличии вторых производных перечисляются в п. 5.2.2, а в п. 5.2.3 приводится программа для расчета под названием FIVOL, предназначенная для решения уравнения Лапласа в области, имеющей неправильную форму.

В данной главе как метод конечных элементов, так и спектральные методы развиваются на основе метода Галёркина, который сам принадлежит к классу методов взвешенных невязок. Описание метода конечных элементов и спектральных.