методов реализуется в первую очередь через посредство специально разработанных примеров, позволяющих понять технику применения этих методов. Указанные примеры продемонстрируют также, по крайней мере в отношении метода конечных элементов, наличие связи с некоторыми из конечно-разностных методов, рассматриваемых к гл. 7-10. Более подробное обсуждение метода конечных элементов и спектральных методов дается Флетчером в книге [Fletc/ier, 1984].

В § 5.3-5.5 рассматривается метода конечных элементов. Вначале демонстрируется возрастающая точность линейной и квадратичной интерполяций в одномерном и двумерном случаях, реализуемая при измельчении сетки. Характерные примеры применения метода конечных элементов приводятся в § 5.4 и 5.5. Эти примеры включают программы расчетов под названиями STURM для задачи Штурма - Лиувилля (см. п. 5.4.2) и DUCT для задачи о течении вязкой жидкости в канале прямоугольного сечения (см. п. 5.5.2). Характерное свойство метода конечных элементов связано с легкостью его приспособления к рассмотрению вычислительных областей неправильной формы; применение с этой целью изопараметрических элементов рассматривается в п. 5.5.3.

Спектральный метод излагается в п. 5.6.1 в применении к уравнению диффузии, где непосредственно используются граничные условия Дирихле. В п. 5.6.2 обсуждаются трудности использования граничного условия Неймана при применении спектрального метода и отмечается возможность более общей формулировки. Тесно связанный с этим псевдоспектральный метод описывается в п. 5.6.3.

§ 5.1. Общая формулировка

Многие вычислительные методы можно рассматривать как методы взвешенных невязок (МВН). Достаточно полное описание МВН и их приложения вплоть до 1972 г. можно найти в книге [Finlayson, 1972]. Наше изложение рассчитано на то, чтобы показать взаимосвязь методов конечных элементов, конечных объемов и спектральных методов.

Исходной точкой для любого МВН является задание некоторого приближенного решения. Представление (5.1) может быть несколько расширено, если написать

Т (jc, у, г, t) = Го (х, у, г, /) + Е (О / {х, у. г), (5.2)

где функция Tq{x, у, 2, t) выбирается так, чтобы удовлетворя--яись, причем по возможности точно, граничные и начальные

138 Гл. 5. Методы взвешенных невязок

условия. Аппроксимирующие (пробные) функции /(х, у, z) предполагаются известными. В случае пространственной одномерности роль аппроксимирующих функций могут играть полиномы или тригонометрические функции, как, например,

<f>{x) = x- или j>i{x)= sm }пх.

Коэффициенты ау(/) заранее неизвестны и их следует определять путем решения системы уравнений, получаемых из исходного уравнения. При решении задач с зависимостью от времени система обыкновенных дифференциальных уравнений (по времени) будет разрешаться относительно а/(); для стационарных задач будет решаться система алгебраических уравнений.

Предполагается, что исходное уравнение, например уравнение теплопроводности, можно записать в виде

где чертой сверху обозначается точное решение. Если приближенное решение (5.2) подставить в уравнение (5.3), то последнее не будет тождественно удовлетворяться. Следовательно, мы можем написать

L{T) = R, (5.4)

где величина R будет называться в дальнейшем невязкой уравнения. В общем случае R является непрерывной функцией х Уу Z и t. Если параметр / сделать достаточно большим, то коэффициенты aj(t) можно выбрать таким образом, чтобы функция R оставалась малой во всей вычислительной области.

С целью определения коэффициентов af{t) потребуем, чтобы интеграл взвешенной невязки по всей вычислительной области был равен нулю, т. е. чтобы выполнялось условие

Wm {х, У, г) R dx dy dz = 0. (5.5)

Если положить m = 1, ..., М, то получится система уравнений для определения а/. Для рассматриваемого здесь нестационарного случая это будет система обыкновенных дифференциальных уравнений. В стационарном случае получается система алгебраических уравнений.

Можно отметить, что уравнение (5.5) находится в тесной связи со слабой формой исходного уравнения, т. е. с уравнением

[Wm {X, у, Z) L (Г) dx dy dz = О, (5.6)

Метод подобластей совпадает с методом конечных объемов (см. § 5.2) по способу решения уравнения (5.5). Уравнение (5.5) в сочетании с условиями (5.7) обеспечивает необходимую основу для выполнения законов сохранения на уровне дискре-тизированного уравнения. Тем самым гарантируется реализация тех свойств сохранения, которые присущи исходным уравнениям. Это преимущество особенно важно при построении достаточно точных решений, описывающих внутренние течения или течения с ударными волнами.

(2) Метод коллокации.

r(x) = 6(x-xj, (5.8)

где б - дельта-функция Дирака и х=(л:, у, г). Как показывает подстановка (5.8) в уравнение (5.5), для метода коллокации характерно, что полагают /?(х,п) = 0. Следовательно, конечно-разностные методы являются, по существу, методами коллокации без использования приближенного решения.

Особенно эффективной разновидностью данного метода является метод ортогональных коллокации [Finlayson, 1980]. Этот метод основан на том, что аппроксимирующие функции в представлении (5.2) выбираются из числа ортогональных полиномов, а неизвестными в (5.2) служат узловые значения (величины Т). Точки коллокации выбираются из числа корней ортогональных полиномов, являющихся аппроксимирующими функциями.

(3) Метод наименьших квадратов.

-J- (5.9)

допускающим появление разрывов в точном решении [Lax, Wendroff, 1960].

Различные варианты выбора весовой (поверочной) функции Wm В уравнении (5.5) приводят к построению различных методов, принадлежащих к классу методов взвешенных невязок. Охарактеризуем кратко некоторые из этих методов.

(1) Метод подобластей. Вычислительная область разделяется на М подобластей Ощу могущих перекрывать друг друга, причем полагают

внутри области D, , О вне области D,