Однако точность быстро возрастает по мере увеличения числа элементов, на которые подразделяется интервал О х 1 (см. табл. 5.6). Приводимая в табл. 5.6 среднеквадратичная ошибка при линейной интерполяции уменьшается пропорционально Аа:, где Ал: - протяженность каждого элемента. Это характерное свойство линейной интерполяции.

3.0г

Формула (5.50)

Квадратичная интерполяция

Рис. 5.9. Одномерное конечно-элементное интерполяционное решение.

В этом месте читатель, впервые знакомящийся с этим материалом, может предпочесть перескочить через пункты, посвященные квадратичной интерполяции и двумерной интерполяции, перейдя к рассмотрению процесса дискретизации, а

Таблица 5.6. Ошибки интерполяции выражения (5.50) по методу конечных элементов

И к. Флетчер, т. I

также решения уравнений на примере уравнения Штурма - Лиувилля (см. § 5.4).

5,3.2. Квадратичная интерполяция

Применение линейной интерполяции, иллюстриуемое на рис. 5.8 и 5.9, налагает на приближенное решение некоторое ограничение, состоящее в том, что оно должно изменяться между узловыми точками линейным образом. Как видим (табл. 5.6), это обстоятельство в случае конечной сетки вносит ошибку. Оценки подобных интерполяционных ошибок даются

Элемент А Элемент В

Рис. 5.10. Одномерные квадратичные аппроксимирующие функции.

в книге [Mitchell, Wait, 1977] и оказываются весьма полезными, когда точное решение неизвестно. Если применить квадратичную интерполяцию, то при тех же размерах сетки мы могли бы ожидать уменьшения ошибки интерполяции.

В качестве одномерной квадратичной аппроксимирующей функции, показанная на рис. 5.10 функция / задается следующим образом:

/ = 0 при X<Xf 2y

/ = 0

(5.52) (элемент А),

(элемент В), (5.53)

при X > Xi+2-

В этих аппроксимирующих функциях можно узнать интерполяционные функции Лагранжа. Получается, что / = 1 в узле / и / = О в узлах у - 2, / - 1, / -f I и / + 2. При квадратичной интерполяции выражение (5.44) внутри элемента А принимает следующий вид:

Т = Г/ 2</>/ 2 + T ,фJ, + Тф, (5.54)

а внутри элемента S -вид

Т = Тф + Т.ф,, + Г/2</>;Ч2, (5.55)

т. е. внутри каждого элемента дают свой вклад только по три члена.

Для модельной задачи, связанной с функцией (5.50), подходящая квадратичная интерполяция соответствует формулам

f/in = y/-2/-2W + f -i/-i W + f /() внутри элемента Л, У1п = У!Ф!{х) + Уf+lфf+l{x) + у2Ф1+2{х) внутри элемснта 5,

(5.56)

где предполагается, что внутри элемента Л (jCj 2 х Xf)

и аналогично для элемента В {xj х Xf+2).

Случай когда интервал О л: 1 перекрывается единственным квадратичным элементом, показан на рис. 5.9. Очевидно, что квадратично-интерполяционное решение оказывается более точным, чем линейно-интерполяционное решение с тем же числом узлов. Эффект измельчения сетки (т. е. увеличения числа квадратичных элементов) сводится к быстрому уменьшению среднеквадратичной ошибки (см. табл. 5.6). Скорость этого уменьшения, видная из табл. 5.6, пропорциональна Ал: в случае квадратичных элементов. Следовательно, по мере измельчения сетки квадратичная интерполяция становится все более точной в сравнении с линейной интерполяцией.

В принципе допустимо использовать как кубическую интерполяцию, так и интерполяцию высших порядков, однако на практике не принято пользоваться интерполяцией более