§ 5.4. Метод конечных элементов и уравнение Штурма - Лиувилля

В п. 5.1.1 метод Галёркина был определен как принадлежащий к классу методов взвешенных невязок. При введении формы приближенного (интерполяционного) решения, строящегося по методу конечных элементов, т. е. выражения (5.44), подчеркивается, что неизвестными являются узловые значения, а аппроксимирующие функции представляют собой кусочно-определенные полиномы низкого порядка. Здесь мы применим метод Галёркина с конечными элементами к решению уравнения Штурма - Лиувилля, имея в виду проиллюстрировать технику реализации метода.

тичной интерполяцией являются более точными, чем элементы с билинейной интерполяцией при сохранении одинакового числа узловых точек. Обращаясь к табл. 5.7, отметим, что 16 соприкасающихся линейных элементов содержат такое же числО узловых точек, как и 4 соприкасающихся линейных элемента. По мере того как большее число квадратично-интерполируемых элементов используется для покрытия области -lxU -1{/1, среднеквадратичная ошибка убывает пропорционально Ajc ( = Дг/3).

Аппроксимирующие функции Лагранжа могут быть введены и в случае трех измерений. При реализации трилинейной интерполяции элементы в форме кирпичиков и имеющие по восемь узлов заменяют прямоугольные элементы с четырьмя узлами, фигурировавшие при двух измерениях. В случае три-квадратичной интерполяции элементы-кирпичики с 27 узлами, заменяют прямоугольные элементы с 9 узлами в двух измерениях [Zienkiewicz, 1977]. При рассмотрении случаев двух и-трех измерений введение кубической интерполяции и интерполяции более высоких порядков вполне возможно, но не представляет большого интереса вследствие большого числа взаимосвязанных узлов [Fletcher, 1984].

Имеется возможность исключить центральный узел из квадратичного прямоугольного элемента, показанного на рис. 5.13; это приводит к построению серендиповских элементов и к такой интерполяции, при которой внутренние узлы не затрагиваются. Введение таких элементов возможно при квадратичной или имеющей более высокий порядок интерполяции и при любом числе измерений. Серендиповские элементы описываются в книге [Zienkiewicz, 1977].

3 виде

5.4.1, Подробная формулировка задачи Упрощенное уравнение Штурма - Лиувилля можно записать

+ Y = F = -Yjism (/-0.5)

(5.66) (5.67)

41 граничными условиями

?(0) = 0 и (1)=0.

Для частного вида f, фигурирующего в правой части (5.66), точное решение задачи имеет вид

--Z 1[(/0.5)яР - 0-5) пхУ

(5.68)

Метод Галёркина с конечными элементами начинается с ©ведения в качестве приближенного решения некоего пробного

Х 0 Х[ ж 2

(5.69)

Рис. 5.17. Задача Штурма - Лиувилля. решения, эквивалентного выражению (5.44), в виде

причем функции /(х) представляют собой линейные аппроксимирующие функции, которые в элементной системе координат при д; = л:() могут быть заданы выражениями (рис. 5.17)

Внутри элемента Л: ,() = 0.5(1+1). g - (/-1 + /Vl .

Внутри элемента В: ф, Ц) = 0.5 (1 -1), =

(5.70)

Подстановка выражения (5.69) в уравнение (5.5) дает невязку решаемого уравнения в виде

Использование уравнения взвешенных невязок (5.6) при т{х) = фт{х) дает 1

\фп,(х){ + ¥-Р)с1х=0. (5.72>

Можно отметить, что здесь интегрирование выполняется по области Oxl. Если учесть, что в формуле (5.69) решение выражается через узловые значения У/, в уравнении (5.72) не могут появляться производные старше первой [Mitchell, Wait, 1977]. На этом основании используется интегрирование по частям, приводящее к следующему соотношению:

{{Ф,у,=[Ф.1-\{){)а.. ,5.73)

О о

Учитывая, что У(0) = 0, нет надобности записывать уравнение с т = 0 (см. рис. 5.17). Для ml имеем фт{0) = 0. При х= 1 dY/dx = 0 и поэтому формула (5.73) принимает вид

(5.74)

Подставляя (5.74) и (5.69) в уравнение (5.72) и проводя некоторые перестановки, получаем

Е f i ж + /) dx]Y,= \f Fdx,m=l,...,J. (5.75>

-1 Lo Jo

Все члены, стоящие под знаками интеграла, известны, так чта (5.75) представляет собой фактически систему алгебраических уравнений, которую можно записать в векторной форме:

BY=G, (5.76>

где Ьт,/> т. е. элемент матрицы В, выражается по формуле

bn =-ii+fm<li)dx. (5.77>