тогда как У/ есть элемент вектора Y, а - элемент вектора G, т. е.

.Fdx.

(5.78)

Правую часть формулы (5.77) достаточно просто вычислить, если превратить интеграл по л: в интеграл по , взятый для каж-

Элемент В

Элемент Л

Рис. 5.18. Вклады, соответствующие узлам и элементам и вносимые в дис-кретизированные уравнения, (а) Линейная интерполяция; (Ь) квадратичная интерполяция, угловой узел.

дого элемента по очереди (рис. 5.17). Если учесть, что функции фт также задаются формулами (5.70), то ненулевые вклады дают только элементы, примыкающие к узлу / = т. Для узла т = ] вклад в расчет по формулам (5.77) и (5.78) дает только один элемент. Следовательно, матрица В является трехдиагональной, т. е. отличны от нуля лишь нижеследующие члены (1< -1):

/,/-1 =

Да:,-

Ал:,

/1 1 \ АХ:

/,/ + 1 =

/ + 1

а для узла т = J:

Ал:,

Ал: 6 -1 Ал:,

(Ч/+. = о)-

Величины шагов Axj и Axj+i показаны на рис. 5.18.

(5.79)

На первый взгляд, если учесть, что величина F известна из вида уравнения (5.66), правую часть в (5.78) можно вычислить непосредственно. Однако в более общем случае, когда F известна, но является сложной функцией лс, удобно провести для F такую же интерполяцию, как и для У, т. е. записать

f=2 </>/( (5.80)

где узловые значения Fj задаются непосредственно из уравнения (5.66). Подстановка формулы (5.80) в выражение (5.78) дает

/ 1

Sm = J]Fi\<l>m<l>idx. (5.81)

/=1 о

в случае линейных аппроксимирующих функций правую часть формулы (5.81) можно рассчитать в виде (1 -1)

< = №),-.+()/ + ()-- М2)

а для m = J: gj = {Axj/6) Fj + {Axj/3) Fj.

Рассматривая частный случай Ах/ = Ax/+i = Ах, поучительно полностью выписать все члены уравнения (5.76), разделив их на Ал:. В результате получим (1 / / - 1)

-[{т)1->+{т)1+И)*]- (5.83)

Очевидно, первая группа членов совпадает с конечно-разностным представлением dY/dx. Второй и третий члены соответствуют оценке величин У и f в качестве средневзвешенных по трем соседним узловым значениям. Набор весовых коэффициентов (1/6, 2/3, 1/6) характерен для линейных элементов в применении к однородной сетке.

С учетом трехдиагонального характера системы уравнений (5.76) имеется возможность экономного построения решения путем использования алгоритма Томаса (см. п. 6.2.2).

Решения были получены при следующих значениях щ в уравнении (5.66):

1 = 1.0, 2 = -0.5, аз = 0.3, а4=-0.2, а5 = 0.1.

Для точек, разделенных одинаковыми интервалами, среднеквадратичная ошибка, полученная при различных значениях /,

Таблица 5.8. Среднеквадратичная ошибка при решении упрощенного уравнения Штурма - Лиувилля

показана в табл. 5.8. Эта среднеквадратичная ошибка определяется выражением

ll>-iIU=

Уменьшение ошибки при уменьшении Ал:, показанное в табл. 5.8, пропорционально Ал: Это согласуется с теоретически предсказанным результатом для случая линейной интерполяции, причем имеет тот же самый порядок, как и для трехточечных центрированных конечно-разностных формул (см., например, табл. 7.1).

5.4.2, STURM: программа расчета по уравнению Штурма - Лиувилля

В п. 5.4.1 метод конечных элементов с линейной интерполяцией применяется к решению упрощенного уравнения Штурма - Лиувилля (5.66) с граничными условиями в форме (5.67). В данном пункте будет дано описание компьютерной программы STURM, предназначенной для получения конечно-элементных решений задачи (5.66) -(5.67) при использовании линейной и квадратичной интерполяции.

В случае использования квадратичных интерполяционных функций (5.57) формулы (5.77) и (5.81) принимают следующую форму, пригодную для угловых узлов по внутренней части