Ъ$ 6 В(1,1м) ш 0.

i57 В(2,1Н) 4.Ml.ms + 0.1)/3.

58 В(3,1Н) 4.*(-2./DXS + 0.8)/3.

59 В(4,1И) В(2ДЮ

60 В(5,1Н) 0.

61 G(IH) 0.4*(Г(1-1) + 8.*F(I) F(I+l))/3. 2 B(1,I) 2.*(-0.25/DXS - 0.1)/3.

63 B(2,I) 2.*(2./DXS -I- 0.2)/3.

64 B(3,I) Ш 2.*(-3.5/DXS + 0.8)/3.

65 B(4,I) - B(2,I)

66 B(5,I) Ш B(X,I)

67 G(I) -0.1*(F(I-l)+r(I+3)) + 0.2 (F(I)-iT(I+2)) + 0.8*F<I+1)

68 C(I) 2.*C(I)/3.

69 7 СОМТИГОЕ

70 С

71 С ADJUST FOR BOUKBARY CONDITIONS

72 с

73 В(2Д) 0. 1f4 B(l,2) 0.

75 B(3,NXP) 0.5*B(3,NXP)

76 B(4,NXI>) 0,

77 B(5,NXP) Ш 0.

7$ IFdNT .EQ. l)G(NXP) (F(NXP) + 2.*r(NX))/6.

79 IFdNT .EQ. 2)G(NXP) 2.*(-0.1*r(NXP-l) + 0.2*F(NXP) + 0.4*r(NX))

80 С

81 с SOLVE BANDED SYSTEM OF EQUATIONS

82 С

83 CALL BANFAC(B,NXPNT) 4 с

85 с

86 CALL BANSOL(G,YD,B,NXP,INT) 7 с

88 с

9 с COMPUTE RMS ERROR

90 с

91 SUM * 0.

92 DO 9 I 2,NX

93 Yd) * YDCI-I)

94 DY Yd) - YEXd)

95 SUM SUM + DY*DY

96 IFdPR .EQ. 0)GOTO 9

97 VRITE(6,8)I,X(I),Yd) ,YEX(I),DY

98 8 FORMATC 1-МЗ/ X \F7.5, Y 4F7.5/ YEX \F7.5/ DY 4

99 1F7.5)

100 9 CONTINUE

101 RMS e SQRT(SUM/ANX)

102 VRITE(6,10)RMS,NX

103 10 FORMAT( / RMS \E10.3/ NX-M3)

104 STOP

105 END

Рис. 5.19 (окончание).

тывается и выводится на печать (строки 87-103) среднеквадратичная ошибка как разность между значениями Y, выданными после обращения к BANSOL, и точным решением.

Типичная выдача для случая линейной интерполяции при Ал: = 0.125 представлена на рис. 5.20. Показанное решение соответствует следующему набору коэффициентов щ в уравнении (5.66):

1 = 1.000, 2 = -1.000, аз= 1.000, 4=-1.000, 5= 1.000.

Результаты, показанные на рис. 5.20, свидетельствуют о том, что в общем случае ошибка решения меньше вблизи границы с условием Дирихле, чем вблизи границы с условием Неймана.

STURM-LIOUVILLE PROBLEM, FEM:LINEAR INTERPOLATION

NX 9 A= .lOOE+01 -.lOOE+01 .lOOE+01 -Л00Е+01 Л00Е+01

RMS= .380E-02 NX= 9

Рис. 5.20. Типичная выдача после прохождения программы STURM.

В табл. 5.10 приводится сравнение среднеквадратичных ошибок решения при линейной и квадратичной интерполяции и при измельчении сетки.

Таблица 5.10. Ошибки решения для задачи Штурма - Лиувилля

Следует отметить такие особенности результатов, приводимых в табл. 5.10:

1. Интерполяция высокого порядка (т. е. квадратичная) оказывается лишь ненамного более точной, чем интерполяция низкого порядка (линейная), если применяется очень грубая сетка.

2. При измельчении сетки точность интерполяции высокога порядка возрастает с большей скоростью, чем для интерполяции низкого порядка.

3. Теоретические скорости сходимости оказались приближенно достигнутыми (пропорционально Ах в случае линейной интерполяции и пропорционально Ах в случае квадратичной интерполяции).

Стоит напомнить, что при применении метода конечных элементов аппроксимирующие и весовые функции отличны от нуля лишь внутри малой области, окружающей рассматриваемый узел. Следовательно, метод конечных элементов является локальным методом. Как и в случае конечно-разностного метода, уравнения (алгебраические), возникающие при использовании метода конечных элементов, связывают между собой узловые значения неизвестных лишь внутри малой области. Однако при решении многомерных задач число охватываемых таким образом узлов для метода конечных элементов существенно больше, чем для метода конечных разностей (см. § 8.3 и книгу [Fletcher, 1984].

§ 5.5. Другие приложения метода конечных элементов

В данном параграфе метод конечных элементов применяется к решению уравнения диффузии (п. 5.5.1), уравнения Пуассона (п. 5.5.2) и уравнения Лапласа (п. 5.5.3). Первая из этих задач позволяет проиллюстрировать обычную для метода конечных элементов практику, когда дискретизируются только пространственные члены. Дискретизация члена с производной по времени осуществляется как отдельный этап. Во второй задаче вводятся две пространственные координаты, в результате чего усложняется структура дискретизированных уравнений. Третья задача дает представление о реализации изопараметри-ческой формулировки, весьма полезной для вычислительных областей неправильной формы.

5.5. Л Уравнение диффузии

Этот пункт посвящен применению метода конечных элементов к решению одномерного уравнения диффузии