Температура как функция х и t определяется уравнением -5Г + аГ~°1Р = 0 при Xt<xXR и >0. (1.1)

Если провести соответствующее обезразмеривание переменных, то граничные и начальные условия примут вид

/-(л:, 0 = 7-(д; 0 = 0, (1.2)

cos яде, - 0.5<л:<0.5,

(1.3)

Т{х, 0) =

I О,

x< -0.5, л:>0.5.

Уравнение (1.1) и условия (1.2) - (1.3) обеспечивают математическое описание задачи. Член adTldx представляет собой

1.0г

-1.0

1.0 г *°0.5/ц Г

-1.0

X 2.0

-1.0

О 1.0 X Z.0

Рис. 1.7. Одномерное распределение температуры.

диффузионный член, а величина а - коэффициент тепловой диффузии. Этот член несет ответственность за распределение области ненулевой температуры вправо и влево; если коэффициент а мал, то и полоса распространения мала. Методика вычислений в применении к уравнениям, содержащим подобные члены, рассматривается в гл. 7 и 8.

Член идТ/дх - конвективный член, несущий ответственность за то, что распределение температуры целиком сносится вправо с известной скоростью и. Принципы обращения с этим чле-

Это имеет место для течения невязкой несжимаемой жидкости в отсутствие завихренности, и тогда величина ф представляет собой потенциал скорости (см. § 11.3). Уравнение Лапласа соответствует наиболее характерному виду уравнения, определяющего равновесие системы или решение стационарных задач (см. гл. 6). Кроме того, уравнение Лапласа обладает тем специальным свойством, что у него есть простые точные решения, которые можно складывать между собой (осуществлять суперпозицию), так как само уравнение линейно. Наличие этих свойств используется при применении методов, описываемых в§ 14.1.

Многие гидроаэродинамические задачи связаны с определением более чем одного искомого переменного, что приводит к необходимости рассмотрения систем уравнений. Так, например, одномерное неустановившееся течение невязкой сжимаемой жидкости подчиняется уравнениям (см. § 10.2)

- + - = 0, (1.6а)

+(Р. + Я) = 0, (1.6Ь>

+ [(Р + £)] = 0, (1.6с>

НОМ, а также с полным уравнением переноса (1.1), рассматриваются в гл. 9. Если размерность задачи превышает единицу то оказывается, что и конвективные, и диффузионные члены связаны с каждым из исследуемых направлений (см. § 9.5).

Если учесть, что величина и известна, уравнение (1.1) является линейным по Т. Однако если решение строится для поля скоростей, то необходимо рассмотреть уравнения с нелинейными конвективными членами. Прототип для нелинейности подобного рода задается уравнением Бюргерса (см. § 10.1)

Наличие нелинейного члена иди/дх способствует тому, что при очень малых а развиваются очень большие градиенты изменения и. Наличие таких градиентов приводит к необходимости измельчения сетки, и в результате наличие нелинейности нередко влечет за собой необходимость введения дополнительного уровня итерации в вычислительный алгоритм.

Некоторые проблемы гидродинамики и теории теплопередачи определяются решением уравнения Лапласа

4 + 1.0. (1.5)

где Р - давление, а Е - полная энергия, приходящаяся на единицу объема и определяемая выражением

Е = - + 0.5ри\ (1.7)

в котором у - отношение удельных теплоемкостей. Несмотря на нелинейность уравнений (1.6), их структура подобна структуре уравнения (1.4) без диффузионных членов. В широком лредставлении стратегия численного решения, разработанная для скалярных уравнений, будет применимой и к системам уравнений.

Для тех гидроаэродинамических задач, где в рассмотрение необходимо включить осредненные свойства турбулентности, структура концептуального уравнения может быть представлена в виде

где коэффициент а является теперь функцией искомой переменной а, а S представляет собой член типа источника, содержащий добавочные вклады за счет турбулентности. Однако для полной ясности необходимо отметить (см. п. 11.4.2 и 11.5.2), что турбулентные течения являются по меньшей мере двумерными, а зачастую и трехмерными и что для описания таких течений необходимо иметь систему уравнений.

§ 1.4. Обзор общих принципов вычислительной гидроаэродинамики

Весь процесс выявления практической информации, касающейся задач, связанных с течением жидкости или газа, схематически может быть представлен на рис. 1.8.

Определяющие уравнения (см. гл. 11) для течений, представляющих практический интерес, оказываются обычно столь сложными, что получить их точное решение невозможно и необходимо строить численное решение. При использовании вычислительных методов исходные дифференциальные уравнения в частных производных заменяются системой алгебраических уравнений, в результате чего для получения решения можно воспользоваться вычислительной машиной. В данной книге будут изложены вычислительные методы, служащие для построения и решения систем алгебраических уравнений.

При применении локальных методов типа методов конечных разностей, конечных элементов и конечных объемов алгебраические уравнения связывают между собой значения искомых