CONVERGED AFTER 10 STEPS SOL RMS .72390E-02 ir(C/L)= .28421E+00 WEX(C/L) .27502E+00

COMP. FLOW RATE .52952E+00 EXACT FLOW RATE .56227E+00 Рис. 5.24. Типичная выдача после прохождения программы DUCT.

в табл. 5.12. Очевидно, что оба метода имеют сходимость, пропорциональную Аа:, Ду2, причем метод конечных разностей дает несколько меньшую среднеквадратичную ошибку, но не-<:колько большую ошибку по значению расхода потока qi.

5.5,3. Вычислительные области неправильной формы: изопараметрическое преобразование

В период приблизительно между 1965 и 1970 гг., когда метод конечных элементов впервые приобрел популярность, широко использовались треугольные элементы, так как именно они позволяли моделировать сложные геометрические формы. Эти треугольные элементы и соответствующие им интерполяционные формулы описываются в книге [Zienkiewicz, 1977].

Способность метода конечных элементов к рассмотрению вычислительных областей, имеющих неправильную форму и неоднородных, всегда была важной характерной чертой этого

Типичная выдача в результате прохождения программы DUCT, предназначенной для решения с линейными конечными элементами, полученного на сетке 6X6, показана на рис. 5.24.

Эффект измельчения сетки как для метода конечных эле-jvfCHTOB, так и для метода конечных разностей демонстрируется

DUCT FLOW BY FEM: LINEAR ELEMENTS

CONV TOL .ICOE-Cl 0

метода. Однако для моделирования сложных вычислительных областей могут быть введены также и деформированные прямоугольные элементы через посредство применения изопара-метрического преобразования. Предпочтение, отдаваемое прямоугольным элементам по сравнению с треугольными, объясняется тем, что первые легче приспособить к взаимодействию с программами формирования сеток (см. гл. 13), особенно в трехмерных случаях. Тем не менее в работе [Jameson, Baker, 1986] разработана эффективная процедура, базирующаяся на введении тетраэдральных элементов с целью моделирования области, внешней по отношению к целому самолету.

1 Т1=-1 2

Рис. 5.25. Изопараметрическое преобразование.

Характерная ситуация иллюстрируется на рис. 5.25. Элементы, показанные в физической плоскости (х, у), подверглись деформации. Однако они без труда могут быть преобразованы в элементы правильной формы в пространстве (g, т]), переход к которому осуществляется по формулам (для случая билинейной интерполяции)

х=ф1{1г\)хь У=Т.ФЛ1,ц)Уи (5.112)

где {хи i )-координаты /-го угла элемента В в физическом пространстве, а /(g, т])-это те же самые билинейные аппроксимирующие функции, которые были определены формулой (5.59). Использование изопараметрического преобразования оказывает влияние на вычисление интеграла (5.5), содержащего взвешенную невязку.

(5.116)

где якобиан [/] соответствует выражению

Отдельные члены, входящие в якобиан, вычисляются с помощью формул (5.112). Например,

f=Z(:t >) - <5 >

Из соотношения (5.116) можно получить следующие явные выражения для величины дф/дх (и дфт/дх), входящей в

13 к. Флетчер, т. 1

В качестве примера применение метода Галёркина с конечными элементами к задаче о решении уравнения Лапласа в деформированной области (см. п. 5.2.3) приводит к линейной системе уравнений, эквивалентной (5.100), т. е.

BW=G. (5.113)

Элемент Матрицы В задается выражением

WXYZ

где т - индекс узла, в котором центрируется весовая функция, а / - индекс узла, вносящего свой вклад. В (5.114) интегрирование выполняется по площади WXYZ (рис. 5.4). Однако для того чтобы обобщить анализ на случай произвольных по форме областей, прямое вычисление интеграла из (5.114) в физическом пространстве не будет пригодным.

Философия, стоящая за применением изопараметрического преобразования, сводится к тому, что в преобразованном пространстве (, Y]), где элементы имеют правильную форму, численная реализация интегрирования может быть проведена непосредственно. Чтобы проиллюстрировать этот тезис, сосредоточим свое внимание на первом члене правой части (5.114), т. е. на интеграле

Производные дф]/дх и дф1ду связаны с производными dild\ и дф1/дг\ с помощью соотношения