Ш( ФО при

т = /.

интеграл (5.115):

Очевидно, что в (5.115) имеем rfjcrfy = det/dgdrj. Подстановка выражения (5.119) в интеграл (5.115) дает следующий вклад в Ьт, / от каждого элемента:

Преимущество формулировки, основанной на изопарамет-рическом преобразовании, сводится к тому, что все члены в правой части (5.120) являются функциями (, т), тогда как элементы в пространстве (g, ц) имеют правильную форму, как это и показано на рис. 5.25. Следовательно, для выполнения интегрирования можно применить некий удобный прием, например квадратуру Гаусса [Isaacson, Keller, 1966]. Более подробное описание изопараметрического преобразования и соответствующей формулировки можно найти в книге [Zienkiewicz, 1977].

§ 5.6. Спектральный метод

Спектральный метод использует приближенное решение в той же форме (5.1), что и традиционный метод Галёркина. Как и в традиционном методе Галёркина, аппроксимирующие и весовые функции отличны от нуля во всей вычислительной области. В этом отношении и спектральный метод, и традиционный метод Галёркина являются глобальными методами [Fletcher, 1984]. В противоположность тому, что имеет место в методе конечных элементов, неизвестные коэффициенты aj(t) в приближенном решении (5.1) не могут быть отождествлены с узловыми значениями неизвестных.

Наиболее существенное отличие спектрального метода от традиционного метода Галёркина состоит в том, что первый из них использует в качестве аппроксимирующих и весовых функций ортогональные функции. Аппроксимирующие и весовые функции являются ортогональными, если

Примерами ортогональных функций служат ряды Фурье, полиномы Лежандра и полиномы Чебышёва.

В том примере, который мы вскоре разберем, будет видно, что использование ортогональных аппроксимирующих и весовых функций упрощает структуру (обыкновенных дифференциальных) уравнений, получаемых при применении спектрального метода. Кроме того, при надлежащей постановке граничных условий спектральный метод позволяет получить решения очень высокой точности при сравнительно небольшом числе членов в выражении приближенного решения, если только точное решение является достаточно гладким. Эти аспекты обсуждаются в книгах [Fletcher, 1984; Canuto et al., 1987].

5,6.1. Уравнение диффузии

Технику реализации спектрального метода легче всего понять на конкретном примере. Будет рассмотрено уравнение диффузии

В вычислительной области Oxl, так что будет возможность провести непосредственное сравнение данного метода с методами конечных разностей и конечных элементов. Граничные и начальные условия предполагаются следующими:

Г(0, 0=0, f (1,0=1 и f{x,0)=sm{nx)+x, (5.122)

Отправной точкой при использовании спектрального метода является введение приближенного решения

Т = sin (jtjc) + jc + Z Л/ (О sin ijnx), (5.123)

где aj{t)-неизвестные коэффициенты. Форма решения (5.123) автоматически удовлетворяет граничным и начальным условиям. Подстановка (5.123) в (5.121) позволяет найти невязку

Г da

У? = + ijf sin (jnx) + атс sin (пх).

Вычисление интеграла с весом, т. е. интеграла (5.5) с весовой функцией (5.10), а именно

[sin {mnx)R]dx = 0, о

дает

Yj jT + afdi [sin {тпх) sin {jnx)\dx + /=1 о

+ aji2 J [sin {mnx) sin {nx)\ dx = 0. (5.124)

Преимущество использования ортогональных функций в (5.124) состоит в том, что первый из фигурирующих там интегралов отличен от нуля, только если / = т, а второй интеграл не равен нулю, только если /п= I. Следовательно, уравнение (5.124) принимает форму

-4-а(/пя)2а, + г, = 0, т=1, ...,/, (5.125)

если m = 1,

I (5.126)

если тФ \.

~1о,

Решение уравнения (5.125) можно записать непосредственно в виде

а = 0, т = 2, ...,/.

После этого выражение (5.123) принимает вид

Г = sin {пх)е- + X, (5.127)

который фактически является точным решением уравнения (5.121). Такой результат получился случайно благодаря специальному выбору граничных и начальных условий (5.122). Ситуация станет более реалистической, если начальное условие задать в виде

Т{х, 0) = 5х-4х\ (5.128)

а в приближенном решении (5.123) комплекс sin{nx) + x заменить на 5х - 4х, Применение спектрального метода с условием (5.128) аналогично тому, что описывалось выше, за исключением того, что формулы (5.126) принимают вид

16а 1 о с

т= 1, 3, 5, ...,

(5.129)

О, т = 2, 4, 6, ....

Если в уравнении (5.125) величину dum/dt заменить формулой с разностью вперед по времени (aJH-- а)/Д/, то можно по-