лучить следующий явный алгоритм:

(5.130)

В данном случае соотношение (5.130) было проинтегрировано с шагом Д = 0.001. Результаты для различных значений / показаны в табл. 5.13. В эту таблицу включены также точное решение f и приближенное решение Ть, содержащее только ошибки, связанные со схемой численного интегрирования. Точное

Таблица 5.13. Спектральные решения уравнения (5.121) при jc = 0.5

решение строится с помощью техники разделения переменных (см. п. 2.5.2) и имеет вид

= + 4 S {2/[(2/ - 1) п]У sin [(2/ ~ 1) пх] ехр {-а[(2/ - \ЫЧ}.

(5.131)

Приближенное решение Ть строится с помощью допущения о том, что решение представляется в форме

П = + 4 Е {2/[(2/ - 1) n]Y sin [(2/ - 1) {t). (5.132)

В результате подстановки в уравнение (5.121) возникает необходимость решить уравнение

L + [(2y i)]2J; = 0. (5.133)

Такое решение строится с помощью такой же разностной аппроксимации, какая делалась для йщ в соотношении (5.130) и с тем же шагом по времени А< = 0.001. Подстановка в (5.132) дает решение для Г&, показанное в табл. 5.13.

Как показывают результаты, приводимые в табл. 5.13, решение Т становится более точным по мере увеличения /. Следует, однако, помнить о том, что ошибка, отличающая Т от точного решения Г, происходит частично от аппроксимации, присущей спектральному методу, а частично от ошибки за счет разностной дискретизации производной по времени при построении численных решений для уравнения (5.125). Что касается разницы между двумя приближенными решениями, Т и Ть, то она обусловлена исключительно ошибкой спектрального метода. Очевидно, что использование сравнительно малого числа неизвестных в приближенном решении обеспечивает построение решения высокой точности. Это свойство характерно для спектральных методов [Fletcher, 1984, гл. 6].

Приложения спектрального метода даны в п. 15.3.3 и 17.1.6. Традиционные области приложения этого метода относятся к глобальному метеорологическому моделированию [Bourke et al., 1977], а также к прямому моделированию турбулентности [Orszag, 1977]. Обе эти области требуют исходных уравнений, включающих нелинейные члены, в особенности для описания конвекции.

Желая, чтобы спектральный метод привел к эффективному вычислительному алгоритму, необходимо ввести технику преобразования для учета нелинейных членов. Концептуально это можно представить себе в форме введения локальных узловых неизвестных Г/, заменяющих в выражении (5.123) коэффициенты af(t)y тем самым представляя нелинейные члены в форме произведений Ti и а/, вычисляя затем заново коэффициенты а/. Техника преобразований обсуждается в книгах [Fletcher, 1984, гл. 5; Canuto et al., 1987].

5.6.2. Граничные условия Неймана

В п. 5.6.1 спектральный метод применялся к решению уравнения диффузии (5.121) с граничными условиями Дирихле, что привело к явной форме обыкновенных дифференциальных уравнений (5.125) относительно неизвестных коэффициентов am в пробном решении.

Теперь мы рассмотрим задачу с более трудными граничными условиями для того, чтобы показать, что использование спектрального метода нередко вызывает нужду в дополнительных ухищрениях на этапе дискретизации. Пусть для конкрет-

+ [а {2nmf] + i. + [а {2jUf] а;} = - 2а (2nm),

= (5.140)

1<т</-1,

ности требуется решить уравнение диффузии (5.121) в области О л: 1.0, fO при начальном и граничных условиях

Г (х, 0) = 3 - 2х - 22 + 2х\ (5.134)

f(0, 0=-2, Г(1, 0=1.0. (5.135)

Вместо того чтобы попытаться учесть начальное и граничные условия в приближенном решении, как делалось в (5.123), введем общее приближенное решение вида

Т (X, О = bo (О + Z (О sin (2/ях) + bj (/) cos {2jnx)]. (5.136)

Чтобы выражение (5.136) удовлетворяло граничным условиям (5.135), коэффициенты должны быть связаны соотношениями

2:ау(2я/)=~2, tbj=l. (5.137)

/=1 /=о

С помощью (5.137) коэффициенты aj и bj могут быть исключены из выражения (5.136), что дает

/--1

Т = cos {2Jnx) + () sin {2Jnx) + {sin [/ (2пх)]

- (i) sin [/ {2nx)]} + 2 a, (cos [/ {2nx)] - cos [/ {2nx)]}.

/=0 (5.138)

Реализация спектрального метода по Галёркину [Fletcher, 1984] требует, чтобы весовые функции в (5.5) совпадали с функциями, представленными в (5.138), т. е.

(х) = sin [т (2пх)] - (-J-) sin [/ (2ях)], 1 < m < / - 1,

(х) = cos [т{2пх)] - cos [/(2ях)], О <m </ - 1.

Подстановка (5.138) в уравнение диффузии (5.121) и расчет согласно (5.5) с учетом (5.139) приводит к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений: