%- + 1а(2я/п)2]&, + +1а(2я/)2]6;} = а(2я/) (5.141)

1 </п</- 1;

Т = Z {ЧГ + 1 (2 )! /} = ° (5.142)

Уравнения (5.140) образуют систему связанных между собой обыкновенных дифференциальных уравнений для определения коэффициентов а/, не зависящих от обыкновенных дифференциальных уравнений (5.141) и (5.142) для определения коэффициентов 6/. Эти две системы решаются маршевым образом по времени, чтобы предоставить значения а/(О и bf{t), подставляемые затем в выражение (5.138), обеспечивая тем самым численное решение Т{х, t).

Однако какой бы маршевый алгоритм ни был использован при последовательном определении во времени коэффициентов а/ и bfy на каждом шаге по времени необходимо проводить начальную факторизацию и матричное умножение. Если учесть, что данная задача линейная и что достаточно точные решения могут быть построены при сравнительно малом числе членов в выражении приближенного решения (5.136), добавочное время исполнения алгоритма, связанное со взаимосвязанностью уравнений, не является чрезмерно большим.

Первоначальные значения aj и 6 получаются за счет подгонки приближенного решения (5.136) к начальному решению (5.134), т. е.

Ьо = , af = 2f{x,0)sm{2jnx)dx, bj = 2f {х, 0)cos(2jnx)dx.

о о (5.143)

Численное решение данной задачи следует построить в задаче 5.17.

Имеется возможность воспользоваться альтернативной процедурой, называемой тау-методом и тесно связанной с методом Галёркина. При использовании тау-метода весовые функции подбираются так, чтобы они соответствовали аппроксимирующим функциям в выражении (5.136), т. е.

Wm ix) = Sin [т {2nx)l 1 < m < / - 1,

Wm ix) = COS [tn (2nx)l 1 < m < /. (

Подстановка (5.136) в уравнение (5.121) и расчет согласно (5.5) на основе формул (5.144) приводит к следующей системе

обыкновенных дифференциальных уравнений:

- + a(2nm)2a = 0, 1<т</-1.

(5.145)

Система уравнений (5.145) является явной и имеет решения am it) = (0) (2-) 1 < < / ~ 1,

Ьт it) = Ьт (0) в- <2ят)= 1< < /,

где ат(0) и 6т (0) определяются по формулам (5.143), а а/(О и &о(0 удовлетворяют соотношениям (5.137).

При решении данной задачи использование формул (5.136), (5.137) и (5.144) позволяет получить более эффективный алгоритм, чем применение спектрального метода Галёркина на основе формул (5.138) и (5.139). В общем случае тау-метод позволяет учесть трудные граничные условия с большей степенью гибкости, чем это делает спектральный метод Галёркина (см. п. 5.6.1). Описание тау-метода можно найти в книгах [Fletcher, 1984; Canuto et al., 1987].

5.6,3, Псевдоспектральный метод

Спектральный метод Галёркина (п. 5.6.1) приводит к весьма точным решениям со сравнительно небольшим числом неизвестных коэффициентов а/ в выражении приближенного решения (5.123). Однако при наличии нелинейных членов вычисление произведений приближенных решений отнимает очень много времени. Этот недостаток экономичности является причиной использования метода коллокации (см. формулу (5.8)) вместо метода Галёркина. Коллокация упрощает поиск решения в форме зависимости от узловых неизвестных значений подобно тому, как это делают конечно-разностные и конечно-элементные методы, а не в зависимости от неизвестных коэффициентов а/ в приближенном решении. Явное использование узловых неизвестных позволяет также осуществить более эффективный учет граничных условий, чем это делается в спектральном методе Галёркина. В литературе спектральный метод с коллокациями принято обычно называть псевдоспектральным методом [Orszag, 1971].

Применение псевдоспектрального метода будет проиллюстрировано здесь на примере решения уравнения диффузии

f- = 0 (5.И7)

С начальным и граничными условиями

й{х, 0) = sin (лл:) + л:, й(~1, 0=~1, (1, 0=1. (5.148)

Производная по времени в уравнении (5.147) дискретизирует-ся с помощью конечно-разностной аппроксимации. Если для указанной производной использовать разностную формулу Эйлера, как в п. 5.6.1, то получается алгоритм

ип1 = ип+[а-у. (5.149)

Псевдоспектральный метод требует, чтобы соотношение (5.149) удовлетворялось в каждой из точек коллокаций (xj), и вводит приближенное решение

uix,t)=Za,(t)T, Ax), (5.150)

которое позволит вычислить пространственные производные. Аппроксимирующими функциями в выражении (5.150) служат полиномы Чебышёва, определенные на интервале -1 л: 1. Полиномы Чебышёва позволяют точно определять производные по пространству, и их обычно предпочитают тригонометрическим функциям, если функция и не является периодической. Описание полиномов Чебышёва и общих вопросов их применения дается в книге [Fox, Parker, 1968]. Специальные рекуррентные соотношения, связанные с применением спектрального и псевдоспектрального методов, приводятся в руководстве [Gottlieb, Orszag, 1977].

Непосредственное использование выражения (5.150) приводит к следующему представлению du/dx\f в уравнении (5.147):

В результате для перехода с временного слоя п на слой п + 1 псевдоспектральный метод должен пройти через следующие этапы:

1) при заданном вычислить из выражения (5.150);

2) при заданном вычислить [ди/дхУ} по формуле (5.151);

3) вычислить по формуле (5.149).

Нетрудно видеть, что, хотя этап (2) имеет место в спектральном пространстве, т. е. имеет дело с ал, этап (3) реализуется в физическом пространстве, т. е. имеет дело с щ. Этап