www.chms.ru - вывоз мусора в Жуковском
Читаемые статьи

Читаемые книги

Ссылки


Главная >  Вычислительная гидроаэродинамика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 [ 65 ] 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165

= Zk-iM> (5.153а)

ди дх

-=Т.ТТ-Л) (5.153Ь)

Явные соотношения между а1\ ajf yl а в выражении (5.150) даны в работе [Gottlieb, Orszag, 1977]. Характерно, что нижеследующие рекуррентные соотношения позволяют получить коэффициенты и af с помощью 0{N) операций:

af = а(2)2 + 2Кр 2 < < - 1;

аО) = 0.5а(> -f а, af > = 0.5af -f а);

<HHi=<+2 = 0> а<2) = а(2, = 0.

В результате вычисление dufdx\j с использованием БПФ может быть реализовано за 0{(N - l)\g{N - I)) операций.

(1) представляет собой преобразование перехода от физического пространства к спектральному.

Эффективность псевдоспектрального метода зависит от того, насколько экономично исполняются три указанных этапа. Выясняется, что вычисление al по выражению (5.150) требует решения линейной системы Tsl = u причем матрица Т плотная. Прямое применение метода исключения по Гауссу (см. П. 6.2.1) для получения sl означает реализацию 0{{N + 1)) операций. К счастью, использование полиномов Чебышёва, вычисляемых в точках коллокации Xj, заданных формулой

д:; = со8[л(/~ 1)/Л], (5.152)

позволяет для вычисления sl воспользоваться быстрым преобразованием Фурье (БПФ), требующим 0{{N + l)lg(A+ U) операций. Быстрые преобразования Фурье Cooley, Tukey, 1965] более подробно описываются в книге [Brigham, 1974].

Прямой расчет ди/дх по формуле (5.151) во всех точках сетки требует проведения 0((N+l)) операций. Однако использование полиномов Чебышёва дает возможность обращения к различным рекуррентным соотношениям, что приводит к некоторому уменьшению числа операций, необходимого для полной реализации этапа (2). В частности, пространственные производные могут определяться непосредственно из полиномов Чебышёва, без их дифференцирования, а именно



Ввиду экономичности каждого этапа псевдоспектрального алгоритма весь этот алгоритм оказывается весьма эффективным.

Эффекты нелинейных членов исходного уравнения псевдоспектральный метод учитывает особенно экономичным путем. Рассмотрим уравнение Бюргерса (10.2) для невязкого потока

-§- + 11 = 0. (5.155)

Если следовать той же процедуре, что и выше, то для перехода с временного слоя п на слой п -f I псевдоспектральный метод должен состоять из следующих этапов:

1) при заданном uj вычислить из выражения (5.150);

2) при заданном ajj вычислить [ди/дх]1 по формулам (5.153а), (5.154);

3) вычислить w = u[duldx\j\

4) вычислить = uj - w АЛ

Расчет нелинейного члена на этапе (3) осуществляется в физическом пространстве, что позволяет избежать требующего много времени умножения отдельных коэффициентов рядов, таких, как (5.150) и (5.153).

Идея о применении преобразования, связывающего между собой спектральное и физическое пространства с помощью БПФ с целью эффективного расчета нелинейных членов, применяется также и при использовании спектрального метода Галёркина [Orszag, 1971]. Подробно анализируемый пример из области метеорологии дается в книге [Haltiner, Williams, 1980].

В сравнении со спектральным методом Галёркина у псевдоспектрального метода имеется один недостаток. При необхо* димости учета нелинейных членов псевдоспектральный метод допускает возникновение побочных ошибок [см. Fletcher, 1984]. Это означает, что произведение двух рядов, неявно фигурирующее на вышеуказанном этапе (3), возбуждает возникновение новых высоких частот, kiN+l. Однако поскольку процесс коллокаций учитывает лишь N - 1 дискретную внутреннюю точку, то высокие частоты должным образом не учитываются. На практике происходит небольшое искажение амплитуд низкой частоты.

При рассмотрении физических задач с небольшой естественной диссипацией интегрирование по времени может стать неустойчивым вследствие накопления побочных ошибок, что создает нелинейную неустойчивость. Такая проблема часто возникает при прогнозировании погоды. Для технических течений объем диссипации обычно достаточен, например из-за на-



личия турбулентности, чтобы можно было игнорировать побочные ошибки. В таком случае псевдоспектральный метод оказывается обычно предпочтительнее, чем спектральный метод Галёркина, вследствие большей экономичности первого и более эффективного учета граничных условий в нем.

Спектральный метод Галёркина (см. л 5.6.1) строит решение целиком в спектральном пространстве, т. е. имеет дело с коэффициентами Qj в выражений (5.123). Псевдоспектральный метод, описанный выше, работает частично в спектральном пространстве, частично в физическом пространстве, с применением БПФ для перехода из одного пространства в другое. Имеется возможность дать такую интерпретацию псевдоспектральному методу, чтобы его схема напоминала дискретизацию в физическом пространстве, подобную тому, что осуществляется в конечно-разностном и конечно-элементном методах. Основные этапы в ходе такой интерпретации, следуя работе [Ки, Hatziav-ramidis, 1984], описываются ниже.

Узловые значения i/ связаны со спектральными коэффициентами Qk посредством соотношения (5.150), которое в компактной форме может быть представлено в виде

и = Та. (5.156)

Коэффициенты а* явно выражаются через и* в форме

a = fu, (5.157)

где элемент матрицы Т имеет вид

А /

причем

Ci = cjv4.i = 2, с,.= 1, KKN+1.

Формулы (5.153а), справедливые для всех точек сетки, можно записать в виде

- = Та<). (5.159)

Однако а<> можно связать с а посредством (5.154), так что

a< )=GO)a, (5.160)

где G<) - это матрица (iV--1)Х (Л + 1), имеющая элементы

Г О, если Л>1 или k+l четное,

Gfci = i л/* .4 1 (o.lol)

(2(1- l)/ck во всех остальных случаях.

Коэффициенты ci = 2, Сл = 1 при kl.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 [ 65 ] 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165


Чем хороши многотопливные котлы?



Нетрадиционное отопление



Детище отечественной Оборонки



Что такое автономное индивидуальное отопление?



Использование тепловых насосов



Эффективное теплоснабжение для больших помещений



Когда удобно применять теплые полы
© 1998 - 2024 www.300mm.ru.
При копировании материала обязательно наличие обратных ссылок.
Яндекс.Метрика