Ясно, что из соотношений (5.159), (5.160) и (5.157) следует iH. = TGa = TG()fu = G()u. (5.162)

Рассмотрение отдельного элемента вектора ди/дх свидетельствует о том, что соотношение (5.162) дает непосредственно ди-скретизационную формулу, выражающую ди/дх\/ через все узловые значения и,. Это выглядит контрастом к трехдиаго-нальной структуре матрицы при использовании центрированного конечно-разностного выражения, моделирующего ди/дх I /.

Аналогичным образом, формулы (5.153Ь) можно записать в виде

- = Та<2) (5.163)

и учесть, что

а(2) = G(>a<> = G<>G(>a= G2)a. (5.164)

Элементы матрицы G могут быть вычислены с помощью (5.161). На основании (5.163), (5.164) и (5.157) получим

~ = TG(2>a = TG(2)f U = G<2)u. (5.165)

Матрицы G<> и G2) могут быть вычислены раз и навсегда и введены в память. В результате все операции, скажем, на одном временном слое выполняются в физическом пространстве.

Применение вышеуказанного построения к случаю уравнения диффузии (5.147) заменит этапы (1) и (2) на вычисление [duldxYl с помощью соотношения (5.165). Можно отметить, что этот процесс требует 0{N) операций, тогда как этапы (1) и (2) включают два быстрых преобразования Фурье и рекуррентный процесс трудоемкостью 0(N) операций. Вследствие дополнительных затрат времени на применение БПФ использование соотношения (5.165) является конкурентноспособными для Л, как правило, меньших 100 [Ки et al., 1987].

Если взять некий предельный случай = 2 в выражении (5.150), то вышеуказанная псевдоспектральная процедура дает такую же дискретизацию уравнения диффузии (5.147), как и схема ВВЦП (3.4).

Явная матричная интерпретация псевдоспектрального метода будет рассмотрена в дальнейшем, в п. 17.1.6, в связи с построением численных решений для течения несжимаемой вязкой жидкости. Более сложные трактовки спектральных ме-

тодов в их различных аспектах можно найти в работах [Gottlieb, Orszag, 1977; Fletcher, 1984; Voigt et al., 1984; Peyret, 1986; Canuto et al., 1987].

§ 5.7. Заключение

Метод взвешенных невязок обеспечивает общую основу для сравнения многих приближенных методов (см. [Fletcher, 1984]). Здесь были рассмотрены достаточно подробно метод Галёркина с конечными элементами, спектральный метод Галёркина и метод конечных объемов.

Методы конечных объемов и конечных элементов, так же как и конечно-разностные методы, являются локальными методами. Следовательно, два первых метода приводят к дискре-тизированным уравнениям с разреженными матрицами, хотя обычно с менее разреженными, чем в случае конечно-разностного метода. Как метод конечных элементов в сочетании с изо-параметрическим преобразованием, так и метод конечных объемов подходят для рассмотрения вычислительных областей неправильной формы. Кроме того, при применении обоих указанных методов можно использовать обобщенные координаты (см. гл. 12).

Дополнительное преимущество метода конечных объемов состоит в возможности непосредственной дискретизации консервативной формы исходных уравнений (см. § 11.2). Это наталкивает на мысль о том, что дискретизированные уравнения обеспечивают выполнение законов сохранения, если только учесть ошибку дискретизации.

В противоположность вышеупомянутым спектральный метод является глобальным методом. Практически это делает его методом, более трудным для реализации, однако позволяет строить приближенные решения высокой точности при сравнительно малом числе членов в выражении для приближенного решения (5.2). Относительные достоиинства методов конечных разностей, конечных элементов и спектральных методов анализируются в книге [Fletcher, 1984]. Еще один мощный глобальный метод - метод ортогональной коллокации - сравнивается с конечно-разностными и конечно-элементными методами в книге [Finlayson, 1980, гл. 4-6].

5.8. Задачи

Методы взвешенных невязок: общая формулировка (§5.1)

5.1. Уравнение dy/dx + у = [\ - (Ъя/бУ] sin(5лх16) с граничными условиями (0) =0, у{\) =0.5 необходимо решить в области О 1.0, используя следующие методы взвешенных невязок:

dt дх

При начальном условии д(х,0) sin(nx) + х н граничных условиях 6(0, ) =0, 6(1, О =1.0 построить решения вышеприведенного уравнения в вычислительной области Ол: 1.0, 0 0.20, пользуясь следующими методами:

(a) метод Галёркина,

(b) метод подобластей,

(c) метод коллокаций.

Следует использовать приближенное решение

в = sin (пх) + x+Ysf - )

Применение вышеуказанных методов взвешенных невязок к безразмерному уравнению теплопроводности дает систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов aj(t). Эти уравнения численно интегрируются маршевым методом.

Получите решения (после составления компьютерной программы) для = 3, 5, 7 всеми тремя методами и сравните точность и скорость сходимости. Точное решение этой задачи имеет вид 0 = sin (ял:) е~ + х.

5.3. Течение вязкой жидкости в канале прямоугольного сечения подчиняется уравнению (5.97):

2 dw .dw

с граничными условиями w = 0 при A: = ifil, у = ±\. Точное решение этой задачи дается формулой (5.110), если величина NEX достаточно велика. Приближенные решения следует построить, пользуясь

(a) методом Галёркина,

(b) методом подобластей,

(c) методом коллокаций.

В качестве приближенного решения используйте выражение

t.= 2]a/(l-A:V(l-f2)/,

форма которого подсказана видом предельных одномерных профилей скорости (Ь/а = 0 и оо). Получите решения для ЛГ = I, 2 и 3 и сравните результаты с решениями, полученными в п. 5.5.2 методом конечных элементов.

(a) метод Галёркина,

(b) метод подобластей (О л: 0.5; 0.5 1.0),

(c) метод наименьших квадратов.

Приближенное решение представьте в форме

yaiix- х) + а2 {х - х) + 0.5х\

Сравните численные решения с точным решением д = sin (Ъпх/б).

5.2. При надлежащем способе приведения к безразмерной форме уравнение диффузии или теплопроводностп может быть записано в виде