Г = 32х - 5] {Щ)КУ -п [(2/ - 1)Я.] е-

чтобы определить скорость сходимости в зависимости от /. Подтвердвте путем численного расчета, что стационарное решение Ts == 3 - 2х достигается при доведении численного интегрирования до больших значений времени.

Получите численные решения вышеуказанной задачи на сетках 6X6, 11 X XII и 21X21 и сравните точность решений по методам конечных элементов и конечных разностей.

5.15. Модифицируйте программу DUCT для решения уравнения

в области О X 1.0, О г/ 1.0, при граничных условиях

Ф(х, 0) = в/ , 0(1, =

0(0, = Ф(х, 1) = в .

Это сочетание имеет точное решение ф(х, у) = exp(jc/a)exp(y/P). При значениях параметров а = 1.0, р = 1.0 постройте решения по линейной схеме метода конечных элементов и по трехточечной схеме метода конечных разностей на сетках 6X6, ПХИ и 21X21. Сравните точность и скорость сходимости для решений, полученных методом конечных элементов и методом конечных разностей.

Спектральный метод (§ 5.6)

5.16. Примените спектральный метод к решению уравнения диффузии (как описано в п. 5.6.1) с начальным условием

Т(х, 0)==5x-4.;c2 и с граничными условиями Дирихле

Т(0,0 = 0, f (1,0 = 1.

Покажите, что можно воспроизвести результаты, приводимые в табл. 5.13. Получите также решения при / = 7 и 9, сравнив их с приближенным решением Ть и точным решением Т.

5.17. Примените спектральный метод к решению уравнения диффузии с начальным условием

f (x, 0) = 3 - 2х - 2x2 + 2х

и со смешанными граничными условиями - Дирихле и Неймана (как в §5,6):

.%iI=-2, 7(1,0=1.0.

Получите численные решения при а = 1.0, используя значения / = 3, 5 и 7 в формуле (5.136), вплоть до / = 0.1. Сравните численные решения с точным решением

Глава 6 Стационарные задачи

Многие примеры из числа рассмотренных в гл. 3-5 содержали время в качестве независимой переменной, что принималось во внимание при построении алгоритмов. Однако многие задачи гидроаэродинамики по самой своей природе являются стационарными, а исходные уравнения по своему характеру зачастую оказываются эллиптическими (см. § 2.4).

Как отмечалось в п. 3.1.2, для дискретизации уравнений стационарного течения можно воспользоваться любым из трех основных методов - конечных разностей, конечных элементов или спектральным, - что приведет к системе уравнений

A(V)V = B, (6.1)

где V - вектор, составленный из неизвестных узловых значений или из коэффициентов пробного решения (5.2). Матрица А содержит алгебраические коэффициенты, связанные с дискретизацией и, вообще говоря, может зависеть от самого решения (V). Вектор В составлен из алгебраических коэффициентов, обусловленных дискретизацией, и из известных значений V, например из тех, которые заданы граничными условиями.

Как правило, матрица A(V) является разреженной (содержит мало элементов, отличных от нуля), причем ее ненулевые элементы расположены вблизи диагонали, если используются конечно-разностные или конечно-элементные методы. В случае спектрального метода матрица A(V) будет наполненной (число нулевых элементов мало). На рис. 6.1 элементы р, г, s и / матрицы А связаны с соответствующими узловыми точками. Элементы р и связанные с узлами (/, k+ \) и (/, k- 1), отодвинуты от диагонали этой матрицы на величину N - число неизвестных узловых значений в направлении оси х.

Имеется возможность построить некоторый итерационный процесс, позволяющий решить уравнение (6.1) в его истинной форме. Однако может оказаться более эффективным введение внешней итерации, в процессе которой уравнение (6.1) на каждом шаге превращается в линейное, так что можно восполь-

зеваться прямыми методами (см. § 6.2). К этому типу принадлежит и метод Ньютона,рассматриваемый в § 6.1.

Если матрица А не зависит от V, то требуется только один этап внешней итерации, т. е. уравнение (6.1) можно записать в виде

AV = B. (6.2)

Для решения уравнения (6.2) можно применить как прямые методы (§ 6.2), так и методы итераций (§ 6.3). Если матрица А

- q- г-S- к

Рис. 6.1. Типовое распределение отличных от нуля элементов матрицы А после конечно-разностной дискретизации.

наполненная, то для осуществления непосредственного решения уравнения (6.2) применяются подпрограммы FACT и SOLVE, описанные в п. 6.2.1 и использующие метод исключения по Гауссу. Если матрица А трехдиагональная или трехдиагональ-ная и пятидиагональная попеременно, то с помощью подпрограмм BANFAC и BANSOL можно получить решение V также с помощью гауссовского исключения, но значительно эффективнее, чем при использовании подпрограмм FACT и SOLVE. Для некоторых вариантов структуры А, таких, которые получаются при конечно-разностной дискретизации уравнения Пуассона, могут быть применены специальные процедуры (см. п. 6.2.6).

Применение итерационных методов (точечный Якоби, Гаусса - Зайделя и ПВР) иллюстрируется в п. 6.3.2 на примере решения уравнения Пуассона, описывающего течение вязкой жидкости в канале (см. п. 5.5.2). Исследуется влияние измельчения сетки на оптимальное значение показателя релаксации и на скорость сходимости точечной ПВР. Демонстрируется обобщение точечной ПВР на линейную ПВР и на неявную схему переменных направлений (НПН), причем делается сравнение с результатами точечной ПВР. Методы сопряженных градиентов (п. 6.3.4), а также многосеточные методы (п. 6.3.5) описываются в первую очередь в качестве средств ускорения классических итерационных процедур.