Некоторые итерационные методы, будучи применены непосредственно к решению уравнения (6.1), оказываются концептуально подобными введению эквивалентной нестационарной формулировки исходной задачи. Если считать, что нестационарное решение не представляет особой ценности, то можно модифицировать члены, зависящие от времени, таким образом, чтобы сходимость к стационарному состоянию достигалась за возможно более короткий промежуток времени исполнения. Именно в этом состоит побудительный мотив для разработки псевдонестационарных методов (см. § 6.4).

§ 6.1. Нелинейные стационарные задачи

Стационарные задачи гидроаэродинамики зачастую оказываются нелинейными из-за характера конвективных членов или несколько реже из-за зависимости от решения таких параметров потока, как зависящая от температуры вязкость (типичный пример).

Метод Ньютона с несколькими независимыми переменными является потенциально полезным приемом решения стационарных задач гидроаэродинамики с учетом его быстрой сходимости в случае попадания близко к истинному решению. Этот метод будет проиллюстрирован здесь на примере решения двух задач. Сначала будет решаться сильно нелинейная система алгебраических уравнений. Далее будут рассмотрены двумерные стационарные уравнения Бюргерса (см. § 10.4), так как эти уравнения имеют точно такую же нелинейную структуру, что и уравнения Навье - Стокса для несжимаемой жидкости (см.§ 11.5).

6.1.1. Метод Ньютона

Метод Ньютона представляет собой мощное средство для решения нелинейных уравнений, подобных (6.1). Схематическое представление этого метода дается на рис. 6.2.

Если уравнение (6.1) переписать в форме

R = A(V)V~B = 0, (6.3)

то основную формулу метода Ньютона можно записать в виде

V(+i) = v() ~ (J())~ R(), (6.4)

где k - номер итерации, а J - якобиан. Элемент матрицы J) имеет форму

Формулу (6.4) можно переписать в виде

(6.6)

Векторное уравнение- (6.6) представляет собой систему линейных уравнений, которую необходимо разрешить относительно вектора поправки ДУ(+) = V<+> - V<> на каждом из итерационных этапов.

- ->

Вычислить

Вычислить и факторизовзть

---1

Заморозить J

Вычислить -(У)- R (к)

Рис. 6.2. Схематическое представление метода Ньютона.

Привлекательная особенность метода Ньютона состоит в том, что он обнаруживает квадратичную сходимость, если только текущая итерация достаточно близка к сходящемуся решению Vc. Квадратичная сходимость означает, что

l/(+i) V, V()~V,p. (6.7)

Критерий сходимости метода Ньютона можно получить следующим образом (см. [Isaacson, Keller, 1966]). Если обращение матрицы J(°) обладает нормой, ограниченной величиной а, т. е.

lJ)-MI<a,

если первый поправочный вектор AV<> имеет норму, ограниченную величиной &, т. е.

AV(O = (J(0))-R(0)<ft,

и, кроме того, если R обладает непрерывными вторыми производными, удовлетворяющими неравенству

при всех V в области AV(>< 2b, и, наконец, если упомянутые выше константы удовлетворяют соотношению

аЬс < 0.5, (6.8)

то метод Ньютона будет сходиться к решению

lim V() = V

для которого R(V,) = 0 и IIV()-V,<6/(2-0.

Здесь векторные нормы представляют собой максимальные нормы, например У = тахК1, а матричные нормы - мак-

симальные натуральные нормы, например

/ = maxElA7l.

Следует заметить, что проверка выполнения неравенства (6.8) связана примерно с таким же объемом работы, как и попытка решения самой задачи. Основная трудность при использовании метода Ньютона состоит в том, что радиус сходимости b умень-шается по мере увеличения [Rheinboldt, 1974], так что для обеспечения сходимости величина V(o> должна быть близкой к V..

. Наиболее существенная доля времени исполнения при применении метода Ньютона уходит на факторизацию матрицы требуемую для решения уравнения (6.6). Это время исполнения можно несколько уменьшить, если заморозить значение J(*) на протяжении нескольких шагов Ak, Иначе говоря, факторизация матрицы J() будет нужна только один раз на протяжении Ak шагов. Однако, как правило, для достижения сходящегося решения понадобится при этом большее число итераций. Методы решения систем нелинейных уравнений, включая метод Ньютона, обсуждаются в книге [Ortega, Rheinboldt, 1970].

6,1,2, NEWTON: температурный анализ работы коллектора в виде плоской пластины

При анализе работы солнечного коллектора в виде плоской пластины, схематически показанного на рис. 6.3, установление энергетического баланса для поглотителя и двух стеклянных крышек может потребовать решения следующей системы нелинейных уравнений, связывающих температуры поглотителя Ти