И К геофизической гидроаэродинамике в условиях, когда диффузионные механизмы отсутствуют или играют очень малую роль.

Томассе [Thomasset, 1981], Бейкер [Baker, 1983] и Гловин-ский [Glowinski, 1984] анализируют вычислительные методы, основанные на методе конечных элементов, а Флетчер [Fletcher, 1984] излагает технику применения конечно-элементных и спектральных методов. В статье [Haltiner, Williams, 1980] обсуждаются вычислительные методы, применяемые в геофизической гидроаэродинамике.

В обзорных статьях [Chapman, 1975, 1979, 1981; Green, 1982; Krause, 1985; Kutler, 1985] обсуждается, на что в настоящее время способна инженерная ВГАД и каковы ее перспективы в будущем. Эти статьи имеют явный уклон в направлении приложений к авиации и космическим исследованиям. Обзор более общего характера дан Тёркелем [Turkel, 1982]. В обзоре Каллена [Cullen, 1983] рассматривается современное состояние метеорологической ВГАД. Обзорные статьи по конкретным разделам вычислительной гидроаэродинамики появляются в серии Annual Reviews of Fluid Dynamics, в серии лекций Института им. Кармана, а также в серии монографий, выходящей в издательстве Пайнридж Пресс . В настоящей книге не затрагиваются более утонченные вычислительные методы, применяемые для расчетов на векторных и параллельных компьютерах. Однако исчерпывающий обзор исследований в этой области дают Ортега и Фойгт [Ortega, Voigt, 1985].

Журнальные статьи по соответствующей тематике появляются в журналах: AIAA Journal, Journal of Computational Physics, International Journal of Numerical Methods in Fluids, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Computers and Fluids, Numerical Heat Transfer, Journal of Applied Mechanics, Journal of Fluids Engineering. Наиболее важными трудами конференций являются следующие: International Conference Series on Numerical Methods in Fluids Dynamics, AIAA CFD Conference Series, GAMM Conference Series, Finite Elements in Flow Problems Conference Series Numerical Methods in Laminar and Turbulent Flow, Conference Series, a также многие другие специализированные конференции.

Глава 2

Дифференциальные уравнения в частных производных

в данной главе будут разработаны процедуры, служащие для классификации дифференциальных уравнений в частных производных, т. е. отнесения их к эллиптическому, параболическому или гиперболическому типу. Каждый из этих типов уравнений будет изучен как с математической, так и с физической точки зрения с целью демонстрации их важнейших характерных особенностей и тех разновидностей течения, при которых встречается тот или иной тип уравнения.

Определяющие уравнения гидроаэродинамики (см. гл. 11) представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных, содержащих первые и вторые производные по пространственным координатам и лишь первые производные по времени. Производные по времени входят в уравнения линейно, но пространственные производные часто появляются в нелинейной форме. Кроме того, если не считать специального случая потенциального течения, обычно приходится иметь дело не с одним уравнением, а с системой определяющих уравнений.

§ 2.1. Основные положения

Для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными можно предложить некоторую простую классификацию [Garabedian, 1964]. Так, например, в случае дифференциального уравнения в частных производных (ДУЧП) вида

T + + + >t + + + ° =

где коэффициенты от Л до G - постоянные, можно различить три разновидности такого уравнения:

Эллиптическое - 4АС < О,

Параболическое - А АС = О, (2.2)

Гиперболическое - 4ЛС > 0.

3 к. Флетчер, т. 1

Очевидно, что классификация связана только с высшими производными по каждому из независимых переменных.

В случае двумерного установившегося потенциального течения сжимаемой жидкости, обтекающей тонкое тело, определяющее уравнение, аналогичное уравнению (11.109), имеет вид

(l-ML) + -g- = 0. (2.3)

Применение критериев (2.2) свидетельствует о том, что уравнение (2.3) эллиптическое в случае дозвукового течения (Моо < 1) и гиперболическое - в случае сверхзвукового течения (Моо > 1).

Если коэффициенты от А до G, входящие в уравнение (2.1), являются функциями X, у, Uy dufdx или ди/ду, критерии (2.2) могут использоваться, как и прежде, если при этом значениям А, В и С давать локальную интерпретацию. Это означает, что классификация определяющих уравнений может изменяться по мере попадания в различные участки вычислительной области.

Определяющее уравнение для установившегося потенциального течения сжимаемой жидкости, т. е. уравнение (11.103), при применении двумерных естественных координат можно записать в форме

(1-М) + = 0, (2.4)

где оси S и п параллельны и перпендикулярны к местному направлению линии тока, а параметр М-местное число Маха. Применение критериев (2.2) на локальной основе показывает, что уравнение (2.4) является эллиптическим, параболическим или гиперболическим, если М < 1, М = 1 или М > 1 соответственно. Характерная картина распределения местных чисел Маха М в случае обтекания крылового профиля или лопасти турбины показана на рис. 11.15. Характерная особенность, связанная с возможностью изменения типа определяющего уравнения в различных участках вычислительной области, представляет собой один из главных усложняющих факторов при численном исследовании трансзвукового течения (см. § 14.3).

При анализе упрощенных разновидностей течения (см. п. 11.2.6) тип уравнения может измениться. Определяющие уравнения для двумерного установившегося течения несжимаемой вязкой жидкости, т. е. уравнения (11.82) - (11.84), при отсутствии членов du/dt и dv/dt являются эллиптическими. Однако введение приближения пограничного слоя приводит к параболической системе ДУЧП, т. е. к уравнениям (11.60) и (11.61).