Если на всех границах ставятся граничные условия Дирихле, то надлежащее представление в виде ряда Фурье будет следующим:

/.* = Е.* (1ГТГ) Р k=l,...,Mt, (6.43)

где Ml - число линий сетки, параллельных оси х и оставшихся в уравнениях (6.42) после I редукций. Коэффициенты Us, к юпределяются путем решения трехдиагональных систем вида

f/s,/-l + W + C/s,.-м = Я , при s=l, Л, (6.44)

величина h{Xi, г/)-элемент вектора h) в уравнении (6.42) и

Л, = - 2 [l -f 2 sin2 (--)]. (6.46)

Быстрое преобразование Фурье [Cooley et al., 1970; Brigham, 1974] применяется для нахождения неизвестных величин в со-ютношениях (6.43) и (6.45). Слегка видоизмененные формы этих соотношений, а также формул (6.46) встречаются при других вариантах граничных условий (Swartztrauber, 1977).

Для сетки, соответствующей случаю N = М, оптимальное число циклических редукций дается в работе [Swartztrauber, 1977) в виде / = log2(log2 Л)-1. Комбинированный алгоритм PACR(/), впервые описанный Хокни [Носкпеу, 1970], требует для своей реализации Л/2 log2 (log2 iV) операций. При = 1000, 1=2 алгоритм FACR(Z) оказывается примерно в 30 раз быстрее, чем неявная схема переменных направлений (ИПИ, см. п. 6.3.2), примененная к уравнению Пуассона. Реализация алгоритма FACR(/) на суперкомпьютерах обсуждается в книге [Носкпеу, Jesshope, 1981], так же как и подходы к решению дискретизированных уравнений Пуассона в трех измерениях [Носкпеу, Jesshope, 1981].

Что касается подробного обсуждения прямых методов ре-1пения уравнения Пуассона, а также быстрого преобразования -Фурье, то интересующийся читатель отсылается к книгам [Носкпеу, Jesshope, 1981; Swartztrauber, 1977; Dorr, 1970], а также к цитированным там источникам.

Следует ясно отдавать себе отчет в том, что происхождение скорости циклической редукции и возможности представления с помощью ряда Фурье обусловлено симметричным характером и постоянством коэффициентов в дискретном варианте лапласиана на равномерной прямоугольной сетке. В случае сетки произвольной формы дискретизация уравнения Пуассона, осуществляемая, например, в процессе применения метода конечных объемов (§ 5.2) или метода конечных элементов с изопараметрическим преобразованием (п. 5.5.3), или же использования обобщенных координат (гл. 12), приводит к алгебраическому уравнению с переменными коэффициентами. Например, при введении обобщенных координат это уравнение может быть записано в виде

(6.47)

или, no аналогии с (6.40), в виде

C,V,., -f G,V, -f T),V,i = h,. (6.48)

Как и прежде, матрица Gk является трехдиагональной, а векторы Ck и Da; содержат диагональные элементы. Однако для уравнения (6.48) не реализуется тот вариант исключений, который приводил к уравнению (6.41).

Если к уравнению (6.47) применить метод разложения в ряд Фурье, то вместо трехдиагональной системы (6.44) получится система уравнений для Us, k с плотной матрицей. Следовательно, по отношению к уравнению (6.47) метод разложения в ряд Фурье является не более экономичным, чем метод исключения по Гауссу (п. 6.2.1), примененный непосредственно к этому уравнению. В зависимости от выбора сетки уравнение (6.47) может включать также отличные от нуля вклады, связанные с узловыми точками (/-1, Л--1), (/-1, k-!) (/-f 1, *+1) и (/+1, k-\),

§ 6.3. Итерационные методы

Итерационные методы можно применять непосредственно к нелинейной системе уравнений (6.1); однако проще несколько видоизменить методику построения итераций, обращаясь к: линейной форме (6.2). Все итерационные методы можно рассматривать как процедуры, предназначенные для последовательной модификации начальной аппроксимации, при этом систематически приближаясь к решению. В общем случае простые итерационные методы не обеспечивают сходимости, если

ТОЛЬКО матрица А, входящая в уравнение (6.2), не включает в себя больших элементов на главной диагонали, т. е. если не выполняется условие (6.52).

6,3.1, Общая структура методов

Общая структура итерационных методов для стационарных задач будет выявлена, если уравнение (6.2) переписать в форме

(N-P)V = B, (6.49)

где матрица N в некотором смысле близка к А, т. е. N А, но легко поддается численной факторизации; например, матрица N может быть трехдиагональной. Уравнение (6.49) -МОЖНО переписать в виде

NV< +)=PV )-fB, или

V( +o pj-ipY( ) + N-iB, или (6.50)

V( +i) = V ) N-iR( ), (6.51)

где R - вектор невязок уравнения на п-м этапе итерации, т. е.

R(rz) = AV( > -В.

По мере приближения к точному решению величина R* стремится к нулю, так что контроль за поведением этой величины дает информацию о степени реализации сходимости. Итерационный метод общего вида состоит из этапа начальной аппроксимации, т. е. задания V<\ и этапов последовательного улучшения аппроксимации с использованием формулы (6.51). Различные варианты метода отличаются друг от друга главным образом тем, как выбирается матрица N.

Схема (6.51) будет обеспечивать сходимость, если спектральный радиус (т. е. величина максимального собственного значения) для N-ф оказывается меньше единицы. Нередко это условие соответствует более ограниченному условию о том, что матрица А имеет свойство диагонального преобладания, т. е.

\Ajf\>Z\Aij\. (6.52)

Одна из наиболее простых итерационных схем для решения уравнения (6.2) носит название метода Якоби, При примене-ЛИИ. этого метода

N = DI, P = (L + U),