где D1 - диагональная матрица, тогда как L и U - строго нижняя и верхняя треугольные матрицы соответственно. В результате формула (6.60) принимает вид

= - i Aila- (6.53)

Вышеописанная форма метода Якоби является неэкономичной, так как требует слишком много итераций для достижения сходимости. Однако она может быть существенно улучшена за счет применения приемов ускорения либо по методу Чебышёва [Hageman, Young, 1981, гл. 4], либо по методу сопряженных градиентов (см. п. 6.3.4).

Более эффективное улучшение метода Якоби обеспечивается с помощью метода Гаусса - Зайделя, при котором в правую часть формулы (6.53) вводятся значения vl\ если только они известны. В этом случае

N = DI-L, Р = и, (6.54)

а эквивалентом формулы (6.53) служит выражение

( +1) = Я (в, - Z A.vf - A.vfJA . (6.55)

Как правило, итерации по Гауссу - Зайделю оказываются вдвое быстрее итераций по Якоби, однако ускорению не поддаются. Если матрица А обнаруживает диагональное преобладание согласно условию (6.52), то сходимость методов Якоби и Гаусса - Зайделя гарантирована.

Метод Гаусса - Зайделя может быть существенно улучшен с помощью последовательной верхней релаксации (ПВР), когда определяется как средневзвешенная величина по отношению к у.) и (£ )q3- Таким образом, схему ПВР можно

записать в виде

(6.56)

Коэффициент К - показатель релаксации. Для сходимости ПВР необходимо выполнение условия О < X < 2. В обозначениях формулы (6.51) схема ПВР соответствует принятию выражения

N = DI/(X-L). (6.57)

Число итераций, требуемое для сходимости, чувствительно к выбору к. Оптимальный выбор обеспечивается принятием значения

где Li - наибольшее собственное значение комплекса I - DI-A. Однако нахождение явного выражения для jli может оказаться столь же дорогостоящим, как решение всей задачи в целом. Поэтому предпочтительная стратегия состоит в том, чтобы получить некую оценку значения jli уже в процессе реализации итераций согласно (5.56). После этого формула (6.58) даст улучшенное значение X. Подробности этого процесса излагаются в книге [Hageman, Young, 1981, гл. 9].

При хорошем выборе предварительного значения Xopt схема ПВР оказывается значительно более эффективной, чем метод Якоби или метод Гаусса - Зайделя. Однако к ее первоначальному варианту невозможно применить метод ускорения - ни в форме метода Чебышёва, ни в форме метода сопряженных градиентов. Но если провести небольшую модификацию для получения метода симметричной последовательной верхней релаксации (СПВР), то введение приемов ускорения будет уже возможным. Метод СПВР состоит из двух этапов. На первом этапе применяется схема ПВР. На втором этапе итерация неизвестных производится в обратном порядке с использованием схемы ПВР при том же значении X, что и на первом этапе. Метод СПВР соответствует следующему выбору матрицы N в формуле (6.51):

N= Х(2-Х)- {

Следует подчеркнуть, что без применения приемов ускорения метод СПВР оказывается менее эффективным, чем метод ПВР.

6.3.2. Анализ течения в канале с помоиью итерационных

методов

В данном пункте мы применим три итерационных метода - ъ1етоды Якоби Гаусса - Зайделя и последовательной верхней релаксации (ПВР) к решению задачи о полностью развитом ламинарном течении в канале прямоугольного сечения. Эти три итерационных метода обсуждались в п. 6.3.1 в качестве явных или точечных алгоритмов. Если воспользоваться алгоритмом Томаса (подпрограммы BANFAC и BANSOL, п. 6.2.3),

С граничными условиями w = 0 при л: = ±1, (/ = ±1. Параметр Ь/а характеризует форму сечения канала, показанную на рис. 5.21. Трехточечная конечно-разностная дискретизация уравнения (6.60) дает

--+--+1=0.

(6.61)

Если применить к решению уравнения (6.61) схему Якоби {см. п. 6.3.1), то получится алгоритм

<;: -0.5[l - + - -4--,7- ]/pARl.

(6.62)

тде индекс {п) означает номер итерации и PARI ={b/a)/Ax + Н- 1/Ау. В схеме Якоби все значения в узловых точках в правой части формулы (6.62) вычисляются на п-м итерационном ♦слое.

В схеме Гаусса - Зайделя узловые значения вычисляются на самом последнем из предыдущих слоев итерации. Следовательно, если итерации реализуют повторяющиеся прогонки в направлении оси у (возрастающий индекс k) при последовательно изменяющихся значениях х (возрастающий индекс /), то эквивалент формулы (6.62), соответствующий схеме Гаусса - Зайделя, принимает вид

ч?г = 0.5[1 +(-) + - J/PARI.

(6.63)

В схеме ПВР решение, соответствующее формуле (6.63) и обозначаемое теперь как wl\, комбинируется с предыдущим

указанные итерационные методы могут быть использованы и как неявные или линейные алгоритмы; линейные варианты методов ПВР и ИПИ также будут описаны в данном пункте.

Рассматриваемый пример, касающийся течения жидкости в канале, был использован ранее в п. 5.5.2 для иллюстрации применения метода конечных элементов, причем была дана и программа DUCT (рис. 5.22), позволяющая провести соответствующий расчет на компьютере. Течение вязкой жидкости в канале описывается безразмерным уравнением (5.97):