решением wp\ согласно соотношению

wfX) = Xw;\ Ч- (1 - Л) wf\ = wf\ + л (w;\ - wf\y (6.64>

где Л -показатель релаксации. Если принять Л= 1, то получится схема Гаусса - Зайделя. Схема ПВР, примененная к уравнению (6.61) с учетом интервала О < Л < 2, приведет к сходящемуся решению.

Три указанных итерационных метода применялись также и в сочетании с конечно-элементной аппроксимацией уравнения (6.60), которая была описана в п. 5.5.2. Нап)имер, эквивалент формулы (6.63) соответствует формуле (5.108).

Таблица 6.3. Число итераций до достижения сходимости

В табл. 6.3 дается сравнение числа итераций, необходимого для достижения сходимости при решении задачи о течении в канале с помощью программы DUCT на сетке pa3jviepoM 11X11. Сходимость предполагается достигнутой, когда llllrms < TOL. Результаты приводятся для двух значений критерия TOL (tolerance). Решение, задаваемое в качестве начального для итерационного процесса,- это точное решение уравнения (6.60). В случае сетки конечного размера это решение не совпадает с решением дискретизированного уравнения

(6.61). Выбор начального решения в форме wf\ = 0 требует большего числа итераций, как это можно видеть из сравнения результатов, показанных в табл. 6.3 и 6.4.

Таблица 6.4. Влияние степени измельчения

сетки на сходимость: задача о канале, точечный ПВР (конечно-разностный метод)

Как показывают результаты, приводимые в табл. 6.3, схема ПВР с оптимальным значением к обеспечивает более быст-

-3.00г

-6.00

Гаусс- \ Якоби Зайдель

20 40 ёО , 80 100

Рис 6.20, Динамика сходимости для точечного конечно-разностного метода

(TOL= 1X10-).

рую сходимость, чем схема Гаусса - Зайделя, которая в свою очередь дает более быструю сходимость, чем схема Якоби. На рис! 6.20 приводится график уменьшения среднеквадратичного значения изменения решения, т. е. разности / -

Для решения этой системы удобно воспользоваться подпрограммами BANFAC/BANSOL (п. 6.2.3). Учитывая, что в левой части (6.65) коэффициенты при w* постоянны, применять BANFAC требуется только для сеточной линии k = 2. Одна и та же факторизация используется в подпрограмме BANSOL для всех сеточных линий. Комбинация соотношений (6.65) и (6.64) дает схему, известную как последовательная линейная верхняя релаксация (ПЛВР).

Неявная схема переменных направлений (НПН), обсуждаемая в книге [Varge, 1962, гл. 7], аналогична схеме ПЛВР, однако направление счета по неявному алгоритму в этой схеме меняется от итерации к итерации. Следовательно, вместо алгоритма, соответствующего (6.65), используется следующий двухэтапный алгоритм. На первом этапе решается следующая трехдиагональная система, связанная с линиями постоянных к, параллельными оси х\

= я, + + (1 + 2Х,) ш<Д + \ш<Д,. (6.66)

В зависимости от номера итерации п при использовании конечно-разностного метода.

Результаты, приводимые в табл. 6.3, свидетельствуют о том, что точечный вариант метода конечных элементов (см. формулы (5.108), (5.109)) дает более быструю сходимость, чем точечный вариант метода конечных разностей при значениях 1.7. Однако вычислительная работа, приходящаяся на одну итерацию, для метода конечных элементов оказывается больше, так что при решении данной задачи этот метод не обязательно будет эффективнее метода конечных разностей.

Все приведенные выше алгоритмы, соответствующие формулам (6.62) - (6.64), имели явную форму. Вполне возможно и даже желательно отдельные группы узловых переменных рассматривать в неявной форме, если только получаемая система уравнений будет поддаваться эффективному решению. Последнее сможет быть достигнуто посредством формирования трехдиагональных систем уравнений, связанных с каждой из линий (линий постоянных к), параллельных оси х, В результате алгоритмическая запись уравнения (6.61) принимает вид