На втором этапе решается уже другая трехдиагональная система, связанная с линиями постоянных у, параллельными оси у:

= \Д/ ++ -2xX* + M*i..b (6-67)

где параметр выбирается так, чтобы ускорить сходимость причем = {Ьку/аАх)Ку. Стратегические приемы для выбора Ку обсуждаются в книгах [Varga, 1962; Wachpress, 1966].

Вышеописанная схема НПН эквивалентна схеме НИН, описанной в п. 8.2.1. Формулы, сравнимые с (6.66) и (6.67),. могут быть получены и применительно к методу конечных элементов за счет принятия соотношений (8.35) и (8.36). Необходимое число итераций для конечно-разностного метода НПН и конечно-элементного метода НПН демонстрируется в табл. 6.3. Оба метода обеспечивают лучшую сходимость, чем соответствующие точечные алгоритмы при неоптимальных значениях Л.

Скорость сходимости сильно зависит от степени измельчения сетки. По мере того как сетка измельчается, число итераций, приводящих к сходимости, возрастает, а оптимальное значение X становится больше. Эта ситуация иллюстрируется в табл. 6.4, построенной на основе начального решения ш<% = 0.

Рассмотренные выше итерационные алгоритмы можно записать в форме соотношения w) = Gw). Уменьшение скорости сходимости по мере измельчения сетки соответствует тому, что максимальное собственное значение матрицы О приближается к единице. Желательно, конечно, располагать теми или иными средствами ускорения скорости сходимости. В книге [Hageman, Young, 1981] обсуждаются возможности применения в качестве приемов ускорения метода сопряженных градиентов и метода Чебышёва. Однако ни тот, ни другой из этих методов при их применении к схемам Якоби или Гаусса - Зайделя не может обеспечить большей скорости сходимости, чем использование схемы ПВР с оптимальным значением показателя релаксации Л. В качестве очень эффективного варианта Хагеман и Янг рекомендуют применение схемы ПВР вместе с адаптируемым алгоритмом для выбора X, В их книге [Hageman, Young, 1981] приводится составленная для этой цели подпрограмма. В книге [Jennings, 1977а] обсуждается возможность использования с той же целью ускорения по Айткену.

17 К. Флетчер, т. 1

Следует отметить, что для эффективного применения вышеописанных итерационных методов решаемая задача должна быть существенно эллиптической, т. е. в ее математическом описании должны присутствовать вторые производные, но не должно быть первых производных. Зачастую это приводит к тому, что матрица уравнений (например, полученная из уравнения (6.61)) является симметричной и положительно определенной. Матрица А симметричная и положительно определенная, если А = А и хАх,> О при всех хФО,

Примерами уравнений, эффективно решаемых с помощью вышеописанных итерационных методов, являются уравнение Пуассона (для функции тока или давления), возникающее при исследовании течений вязкой жидкости в переменных функция тока - завихренность (§ 17.3), а также уравнение для потенциала, часто связанное с задачами о течении невязкой жидкости (гл. 14) и, в частности, о трансзвуковых течениях (§ 14.3).

Если в задаче фигурируют первые производные существенной величины, то вышеописанные методы оказываются крайне неэффективными и могут не обеспечивать сходимости. Если, например, применять точечную схему ПСР с методом конечных разностей к решению двумерных уравнений Бюргерса, рассмотренных в п. 6.1.3, на сетке 21X11, то для сходимости потребуется Я 1.0. После 270 итераций невязки уравнений снижаются примерно до 1.4 X 10~. Для сравнения укажем, что приближенная факторизация в процессе нестационарного метода Ньютона (п. 6.4.1) приводит к той же степени сходимости за 15 итераций.

Существенные члены с первыми производными возникают в уравнениях импульсов, записанных в примитивных переменных (§ 17.1), в уравнении переноса завихренности (§ 17.3), а также в уравнении энергии (п. 11.2.4).

6,3.3. Существенно неявная процедура

Существенно неявная процедура (СНП) начинает анализ с уравнения (6.49), записанного с целью применения итерационного метода к стационарной задаче общего вида, и с помощью факторизации расщепляет матрицу N на LU. В данном случае матрица А получается за счет трехточечной центрированной разностной дискретизации в двух измерениях. Структура матрицы А в этих условиях показана на рис. 6.1.

Как показано в работе [Stone, 1968], это можно сделать так, чтобы получилось три диагонали в матрице L и три диагонали в матрице U, элементы на главной диагонали которой равны единице. Теперь если сформировать N = LU, то ясно.

ЧТО матрица Р состоит из двух диагоналей, содержащих множители при У,ч.1,/-1 и t;/-i,/+i. Для линейной системы уравнений (6.2) элементы матриц L, U и Р могут быть вычислены раз и навсегда.

Алгоритм реализуется в два этапа. Сначала прямая прогонка позволяет получить

L( +i) = B + PVK (6.68)

После этого осуществляется обратная подстановка

{}Win+i) = y(n+il (6.69)

Этот алгоритм весьма эффективен и часто имеет преимущество перед схемой НПН, соответствующей формулам (6.66) и (6.67).

В работе [Schneider, Zedan, 1981] был разработан модифицированный существенно неявный алгоритм (МСН), применимый к случаям пятиточечной или девятиточечной дискретизации в двумерном пространстве, т. е. к случаю трехточечной конечно-разностной дискретизации или к случаю линейной конечно-элементной дискретизации. Здесь будет описана пятиточечная версия МСН. Что касается девятиточечной версии, то интересующийся ею читатель отсылается к цитированной выше работе Шнайдера и Зедана.

Алгоритм, использующий схему МСН, реализуется с помощью формул (6.68) и (6.69). Однако вид матриц L, U и Р отличается от того, что использовал Стоун. В алгоритме МСН матрица L содержит по четыре ненулевых элемента в каждой строке, тогда как матрица U имеет три ненулевых элемента вне диагонали и единицу на диагонали, а матрица Р содержит два элемента. Если нумерация элементов V соответствует сначала возрастающим значениям /, а затем возрастающим значениям k, то формула (6.68) принимает вид

- [c kVi, k-l + df, kVf+u k-x + e (6.70)

Обратная подстановка согласно (6.69) реализуется в виде = , j,) + +,,)( +). (6.71)

В формулах (6.70) и (6.71) коэффициенты с, d, е я f являются элементами матрицы L, коэффициенты g, h и t относятся к матрице U, а коэффициенты и - к матрице Р.