уравнению (6.83) с невязками и поправками. В случае нелинейных систем уравнений релаксация должна быть применена к первоначальному уравнению (6.1).

Распределение невязок на т-й сетке вычисляется по pm+i,v помощью ограничительного оператора /m+i. Это может быть символически записано в виде

Надлежащие варианты ограничительного оператора будут указаны позднее. Процесс релаксации и ограничения продолжается до тех пор, пока не будет достигнута самая грубая сетка, т. е. m = 1.

На наиболее грубой сетке с экономической точки зрения целесообразно продолжать релаксацию (или использование любого другого итерационного метода) до тех пор, пока не будет получена сходящаяся поправка В качестве альтернативы уравнение AW = R или (6.2) может быть решено с помощью прямого метода (§ 6.2). Можно отметить, что в общем случае, если R отлична от нуля, то и отлична от нуля.

Поправка может быть получена из путем пролонгации (интерполяции). Это символически изображается формулой W = /?W\ или в более общем виде

Надлежащие формы оператора пролонгации / будут указаны позднее. Затем на более мелкой сетке при т + 1 делается еще несколько релаксационных шагов (v), так что

прежде чем проводить пролонгацию на более мелкую сетку.

Один многосеточный цикл, берущий начало с наиболее мелкой сетки, т. е. с m = М, состоит из серии повторных применений формул (6.84) и (6.85), пока не будет достигнута наиболее грубая сетка, после чего строится точное или полное итерационное решение уравнения AW = Ri и проводится серия повторных применений формул (6.86) ц (6.87) вплоть до вторичного достижения наиболее мелкой сетки при т = М. Эта процедура называется V-циклом и ее блок-схема приводится на рис. 6.21.

Цикл повторяется заново до тех пор, пока не будет достигнута удовлетворительная сходимость на наиболее мелкой сетке. Если в качестве уравнения (6.2) берется уравнение Пуассона на равномерной сетке, то десяти циклов достаточно для того, чтобы изменение решения для двух последовательных циклов

уменьшилось до значения порядка 10- При проведении первого цикла величина W принимается равной первоначально заданному предполагаемому решению на мелкой сетке V .

Прежняя аппроксимация

r 1=i;;;r-a w )

Новая аппроксимация

W iRELAXW, ATR )

m=m+l ~1-

Решить = точно

Прежняя аппроксимация

Новая

аппроксимация

Ограничение

Пролонгация

Рис. 6.21. Блок-схема для многосеточного V-цикла.

Ограничительный оператор С+и фигурирующий в формуле (6.85), позволяет построить распределение невязок на более грубой сетке R по известному распределению невязок на более мелкой сетке R + Простейшим выбором для физической

сетки при индексах / и k, соответствующих положению узловой точки на грубой сетке в направлениях х и у соответственно, является непосредственное замещение RT,k = RT,V- Такой процесс устойчив и эффективен в вычислительном плане при решении существенно эллиптических задач, например для уравнения Лапласа в п. 5.2.3. Однако для нелинейных задач со слабой эллиптичностью типа задач о течении вязкой жидкости с большими числами Re (гл. 17) более устойчивый выбор обеспечивается с помощью пятиточечных и девятиточечных операторов

im+I =

Оператор пролонгации (интерполяции) из формулы (6.86) обычно базируется на билинейной интерполяции в двух измерениях. Так, например, если индексы /, k относятся к более грубой сетке т, то

m+l m

(6.89а)

wT±h2, k = 0.5 {wlk + шГ± 1. k\ (6.89b)

wTx]2, = 0.25 {wT,k + wT+u k + wlt,, + kxl (6.89c)

Значения ш в точках (/, k± 1/2) определяются так же, как в формуле (6.89Ь). Следует отметить, что узловые точки (/, k) на более грубой сетке будут переобозначены индексами (2/ -f 1, 2k-\- 1) на более мелкой сетке.

При решении нелинейных задач многосеточный метод можно сочетать с методом Ньютона (п. 6.1.1). На каждом шаге ньютоновской итерации линейная система (6.6) решается относительно поправки к решению. Многосеточный алгоритм, соответствующий рис. 6.21, может применяться в процессе итераций при решении (6.6).

Однако многосеточный метод может применяться и непосредственно к решению нелинейной системы (6.1), без обращения к методу Ньютона. При этом существенное отличие от алгоритма, схематически представленного на рис. 6.21, состоит в том, что на этапе ограничения по формуле (6.85) нужно ограничивать переброской на более грубую сетку т не только невязку R *, но и приближенное решение у . На т-м слое вместо решения уравнения (6.83) ищется решение уравнения

дтут. ат A C+,V + (6.90)