нальными матрицами, соответствующими сеточным линиям по направлениям х и у [Wachpress, 1966, гл. 6].

При решении задач обтекания часто выясняется, что на одних участках вычислительной области приближение к стационарному состоянию идет значительно быстрее, чем на других. При обтекании ступеньки, обращенной назад (п. 17.3.3), решение в области отрыва потока за ступенькой сходится значительно медленнее, чем в областях, удаленных от ступеньки.

Начальное решение

Прогонка по направлениям х

Подобрать А t

(ускоренная

сходимость)

Стационарное решение V

Прогонка по направлениям

- V ll уп+1пдуш.1

Алгоритм Томаса (каждая сеточная линия)

Рис. 6.23. Псевдонестационарный метод с расщеплением для решения дву-

двумерной задачи.

В силу наличия пространственных вариаций скорости сходимости целесообразно дать следующую модификацию уравнения (6.94):

.(X, у) -= а(. + -), (6.96)

где коэффициент c(jc, у) подбирается эмпирически так, чтобы выравнять скорость сходимости на различных участках вычислительной области. После этого схема расщепления вводится обычным образом (§ 8.2).

6АЛ. Двумерные стационарные уравнения Бюргерса

Здесь мы проиллюстрируем эффективность псевдонестационарного метода путем сочетания его с методом Ньютона в применении к решению двумерных стационарных уравнений Бюр-

+ Ь + () ..=о.

AvV / dRv

1L± At

(6.99)

где Aa = u- - 1Л T. Д. Член q обозначает как w, так и v, 2l индексы /, m соответствуют всем возможным значениям / и k, для которых частные производные отличны от нуля. Иначе говоря, 1 = 1-1, /, /-f-l; m=k-1, k, k-\-\. Уравнения (6.99) могут быть объединены в одно матрично-векторное уравнение вида

j)Aq = -R, (6.100)

которое можно сравнить с уравнением (6.17) при использовании обычного метода Ньютона. Выбор малых значений соответствует тому, что расширенный якобиан (I/Af-fJ) приобретает большую степень преобладания членов, близких к диагонали.

Уравнение (6.100) обладает большей эффективностью в отношении нижней релаксации в рамках метода Ньютона, чем

18 К Флетчер, т. 1

герса (п. 6.1.3). Уравнения (6.12) заменяются эквивалентными им нестационарными уравнениями:

dt дх ду Re\ дх дуЧ дд , . dv , dv \ f дЧ . дЧ \ (6.97)

Дискретизированная форма уравнений (6.97), эквивалентная уравнениям (6.13), имеет вид

= i±+/?.r. = 0, (6.98)

где Ruik и Rvk определяются выражениями (6.13).

Можно отметить, что стационарные члены представлены выражениями на временном слое м+1. Это сделано для того, чтобы псевдонестационарная форма была совместима с методом Ньютона и чтобы временной слой п + 1 был однозначно эквивалентен итерационному уровню в методе Ньютона (п. 6.1.1). Из рассмотрения выражений (6.13) следует, что RUj k и Rvk являются функциями цп, /-/,fe l?k Поэтому разложение Ru и Rv в окрестности временного (итерационного) уровня, как это делается в п. 8.2.2, позволяет переписать уравнения (6.98) в виде

уравнение (6.19). Типичная форма выдачи для решения уравнений Бюргерса, обеспечиваемого программой NEWTBU с уравнением (6.100), показана на рис. 6.24. Очевидно, что с уравнением (6.100) сходимость осуществляется намного быстрее, чем с уравнениями (6.17) и (6.19). В случае уравнения

NEWTONS METHOD FOR N = 18 ITMX= 50 IRD= 1 IPN= 5

DT= Л0000Е-01 EPS= .lOOE-04 RE= .lOOE+02 0M= .lOOE+01

(6.100) скорость сходимости зависит от выбора А/. Если значение А/ велико, то сходимость идет так, как при обычном методе Ньютона. Однако в применении к двумерным уравнениям Бюргерса это, по существу, означает расходимость (п. 6.1.3). Если же значение А мало, то скорость сходимости оказывается меньше, но появляется преимущество, состоящее в значительном расширении радиуса сходимости. Тем самым преодолевается главный недостаток метода Ньютона, отмечаемый в табл. 6.5. Если уравнения решаются, то с учетом единственности решения уравнений (6.98) ясно, что при выборе доста-