Таблица 6.5. Метод Ньютона

ТОЧНО малого решение будет построено, какова бы ни была его приемлемая начальная аппроксимация.

Видоизменения программы NEWTBU, отражающие переход к уравнению (6.100), содержатся в строках 36 и 39 подпрограммы JACBU (рис. 6.13). Основные недостатки метода Ньютона, отраженные в программе NEWTBU, связаны с недостаточной экономичностью процессов формирования матрицы J и факторизации расширенного якобиана (I/Af + J}. Факторизация матрицы J требует 0{N) операций, что чрезвычайно расточительно в случае больших N. Кроме того, по соображениям экономичности необходимость хранения всех элементов матрицы J в оперативной памяти влечет за собой строгое ограничение на максимальный размер тех систем уравнений, которые могут решаться.

Многие из элементов матрицы J равны нулю и только некоторые из отличных от нуля имеют большие значения. Это позволяет сделать вывод о том, что при решении данной задачи величины Ru и Rv существенно зависят от некоторых узловых неизвестных uj, и, У/, fe, но очень слабо зависят от других узловых неизвестных. На этом основании желательно рассмотреть такие аппроксимации для матрицы J, которые охватили бы сильную зависимость и проигнорировали бы слабую, если Только такой подход привел бы к уменьшенным якобианам или к таким структурам матрицы J, которые допускали бы эффективную реализацию приближенной факторизации (см. § 8.2). Возможная плата, которую пришлось бы уплатить за это, состояла бы в увеличении числа итераций до достижения сходимости. Однако если каждая итерация будет сама по себе достаточно экономичной, то упомянутая плата окажется приемлемой.

В тех случаях, когда приемы приближенной факторизации (расщепления), описываемые в § 8.2, применяются к решению нелинейных задач, это можно связать с приближенной факторизацией уравнения (6.100). Данный аспект проясняется и развивается в § 10.4, где с помощью приближенной факторизации уравнения (6.100) строится решение двумерных уравнений Бюргерса, т. е. решается поставленная здесь задача.

§ 6.5. Стратегические приемы для решения стационарных задач

Для описания большинства задач гидроаэродинамики используются системы дифференциальных уравнений в частных производных (гл. 11). Если рассматриваются задачи, связанные с потенциалом скоростей (§ 14.3), с функцией тока (§ 17.3), или течения несжимаемой жидкости, связанные с изменениями давления (§ 17.1 и 17.2), то, как правило, одно из определяющих уравнений имеет матрицу с диагональным преобладанием. В некоторых случаях это уравнение может быть также и линейным. Следовательно, здесь будут применимы итерационные методы (§ 6.3), в частности многосеточные методы (п. 6.3.5), а также специальные прямые алгоритмы (п. 6.2.6), если только сетка является однородной.

Когда роль зависимых переменных играют компоненты скорости или завихренность, то в определяющих уравнениях обычно фигурируют нелинейные конвективные члены (гл. 10). Дискретизация таких уравнений приводит к нелинейным системам уравнений типа (6.1), в которых нет диагонального преобладания, если не считать случаев, когда диффузионные (вязкие) члены значительно больше конвективных членов. Тогда, говоря о методе решения, следует выбирать между ньютоновским или псевдоньютоновским алгоритмами и псевдонестационарным алгоритмом, связанным с приближенной факторизацией. Сравнительные недостатки и преимущества двух подходов суммируются в табл. 6.5 и 6.6.

При решении задач о течении вязкой жидкости с большими числами Рейнольдса (гл. 17 и 18) матрица J становится плохо обусловленной и это нередко приводит к расходимости метода Ньютона, даже если начальная аппроксимация соответствует сходящемуся решению с близкими параметрами.

В отношении некоторых задач ничего нельзя сказать а priori относительно существования стационарного решения. Тогда при введении нестационарной формулировки удается автоматически обнаружить осцилляционное псевдостационарное решение.

Таблица 6.6. Псевдонестационарная формулировка при приближенной факторизации

Исторически метод Ньютона чаще использовался в сочетании с методом конечных элементов, тогда как псевдонестационарный подход с расщеплением чаще сочетался с методами конечных разностей. Однако псевдонестационарный подход можно интерпретировать с точки зрения приведения к диагонально-расширенной системе уравнений, которую следует решать итерационными методами, как в случае уравнения (6.100). Следовательно, даже если расширенные системы уравнений не имеют формального диагонального преобладания по признаку (6.52), они подходят для решения многосеточными методами (п. 6.3.5) и обычно обеспечивают более быструю сходимость.

§ 6.6. Заключение

В данной главе был дан краткий обзор методов решения алгебраических уравнений, полученных после дискретизации (§3.1), в первую очередь в применении к стационарным задачам.

Те алгебраические уравнения, которые получаются при дискретизации определяющих уравнений гидроаэродинамики (гл. 14-18), являются, как правило, нелинейными. В результате оказывается неизбежным применение тех или иных итерационных процедур. Концептуально полезная идея состоит во введении внешней итерации, позволяющей преодолеть нелинейную природу дискретизированных уравнений, так что на каждом шаге этой внешней итерации решается линейная система уравнений. Решение этой системы может строиться либо прямыми (§ 6.2), либо итерационными методами (§ 6.3).

Во внешней итерации можно воспользоваться методом Ньютона (п. 6.1.1) или псевдонестационарным методом (§ 6.4).