Несмотря на то что метод Ньютона в окрестности решения обеспечивает квадратичную сходимость, малый радиус этой сходимости при большом числе узловых неизвестных делает данный метод в его основной форме менее эффективным, чем псевдонестационарный метод.

При решении многомерных задач ценность неявных схем расщепления (§ 8.2) прямо пропорциональна эффективности решения систем уравнений с узколенточными матрицами (п. 6.2.2-6.2.5) на каждом этапе внешней итерации.

Итерационные методы, используемые на каждом этапе внешней итерации, оказываются обычно наиболее эффективными для систем с сильным диагональным преобладанием. Это часто имеет место при дискретизации уравнений, определяющих трансзвуковое течение невязкого газа (§ 14.3), а это привело к развитию специальных итерационных методов (п. 14.3.5). Однако характерная черта многосеточных методов (п. 6.3.5) состоит в том, что они позволяют достаточно экономичным путем с помощью прямого метода строить решение на самой грубой сетке. Таким образом, многосеточные методы применимы независимо от того, обладает ли матрица системы уравнений диагональным преобладанием или нет.

§ 6.7. Задачи

Нелинейные стационарные задачи (§6.1)

6.1. При решении задачи о солнечном коллекторе с помощью программы NEWTON модифицируйте эту программу так, чтобы матрица J, входящая в уравнение (6.10), рассчитывалась только через каждые р шагов. Сравните -числа итераций до достижения сходимости и общие числа необходимых операций, получаемые при различных значениях р. Более разумно начинать с такого решения для Т<о>, которое требует для достижения сходимости большего числа итераций, чем показанное на рис. 6.8.

6.2. Сделайте расчеты по программе NEWTBU для значений Re = 5, 2, I. Для каждого варианта выберите значение со, приводящее к наиболее быстрой сходимости. Что бы вы могли сказать относительно зависимости от Re числа итераций, нужного для сходимости? Можете ли вы скоррелировать эту зависимость с относительной величиной различных членов уравнений (6.12), а также с вытекающим отсюда преобладанием диагональных членов матрицы J в уравнении (6.17)?

6.3. Примените квазиньютоновский метод (п. 6.1.4) при Я/, ;=1/Л, г к задаче о солнечном коллекторе. Положите Я/, / = О при i ф /. Сравните суммарное время счета с аналогичным временем при применении обычного метода Ньютона.

Прямые методы для линейных систем (§ 6.2)

6.4. Составьте компьютерную программу для решения уравнения (6.27) -при /?сеп = 0.5, пользуясь подпрограммами BANFAC и BANSOL для значений Vj при / = 2, 10. Граничные условия: Vi = 0, vn = 1.0. Данная за-

дача имеет точное решение в форме (9.46).

Vj = -0.0060834 + 0.00365 (5/3) при у = 1, ..., 11. (6.101)

6.5. Пятиточечная схема, соответствующая схеме (6.27), имеет вид (I + cell) /-2 - 8 (2 + cell) + 30t;, ~

- 8 (2 - cell) / + 1 + (1 - cell) /+2 = (6.102>

Видоизмените подпрограммы BANFAC и BANSOL применительно к решению пятидиагональной системы, получаемой из вышеприведенного уравнения. Предположите, что заданы адекватные граничные условия, позволяющие вычислить u/ 2 и vj-i на левой границе, а также и vi+z на правой границе. Проведите расчет по этой схеме при / = 3, 9 и /?ceii = 1.0. Воспользуйтесь формулой

VJ = {ej О (во - 1) при Xj = 0.1 (/ - 1), (6.103>

чтобы получить граничные значения для Vu сг, и Уц. Формула (6.103) выражает точное решение задачи, дискретная формулировка которой соответствует (6.102). Следовательно, решение уравнения (6.102) должно быть близко к выражению (6.103).

6.6. Составьте компьютерную программу для реализации решения блоч-но-трехдиагональных систем уравнений с блоками 2X2. Проверьте работу программы после дискретизации уравнений

с граничными условиями Г = О и S = 1 при х = О, Г = 2sh (1), S = ch(l) при х= \, используя трехточечные центрированные конечно-разностные формулы. Получите решения внутри интервала О 1.0 при Ах = ОЛ. Точное решение уравнений (6.104) с приведенными выше граничными условиями Дирихле выражается в виде Г = 2 sh(jc), S = ch{x).

Итерационные методы (§ 6.3)

6.7. Постройте решения для задачи о течении в канале (п. 6.3.2) в соответствии с табл. 6.3 при условии применения методов Якоби, Гаусса - Зайделя и ПВР с конечно-разностной дискретизацией для значений Ь/а = 3 и 10. Какой эффект оказывает увеличение отношения сторон?

6.8. Видоизмените программу DUCT с целью введения схемы НПН, соответствующей уравнениям (6.66) и (6.67), и подтвердите результаты, показанные в табл. 6.3. Сходимость нередко ускоряется за счет введения последовательности итерационных параметров Ху\ Определите эффективность следующего выбора для случая Ь/а = \, Ах = Ау:

где Л -число разбиений на каждой из сторон сечения канала. Формула (6.105) приводит к циклу, при необходимости повторяемому. Надлежащая-стратегия для выбора последовательности итерационных параметров обсуждается в книгах [Varga, 1962; Wachpress, 1966].

6.9. Примените к решению задачи о течении в канале (п. 6.3.2) алгоритм МСН (п. 6.3.3) для условий, соответствующих табл. 6.3, и сравните число* итераций, требуемых для сходимости, а также суммарное время счета с результатами, показанными в табл. 6.3.

6.10. Примените псевдонестационарный метод Ньютона (программа NEWTBU) с расчетом элементов матрицы J только через каждые р итераций. Определите влияние р на сходимость и суммарное время счета.

6.11. Видоизмените программу NEWTBU так, чтобы отдельные элементы матрицы J приравнивались нулю, если они меньше критерия TOL При TOL = 10-, 10- 10- определите, сколько именно элементов J приравнивается нулю и как изменяется число итераций, необходимое для сходимости. Будет ли получаемая в результате структура расположения отличных от нуля элементов матрицы J допускать возможность более эффективного решения уравнения (6.100), чем с применением подпрограмм FACT и SOLVE, например, с применением итерационного метода на основе соотношения (6.51)?

6.12. Можно ли сделать программу NEWTBU сходящейся быстрее за счет использования последовательности А? Введите цикл с помощью геометрической прогрессии шагов по времени

A/ = A/V, /==1,

где показатель прогрессии г 1.2 и р 5-40. Проведите эксперименты с 4)азличнымн комбинациями А<°>, г и р.