Таблица 7Л. Алгебраические схемы дискретных вариантов представления уравнений

диффузии dfldt - адЧ/дх* = О

Схема

Алгебраическая формула

Главный член ошибки аппжсимации *

Коэффициент усиления

Уело-

устойчивости

Комментарии

ВВЦП

АГ7+

-4ssin (-)

s<0.5

хх=д [1.-2.1]

Дюфорт - Франкел

25 cos e;+(i;-4sisin e)

(l+2s)

+ 7-+1) +

Кранк - Николсон

1 - 2s sin (6/2) I + 2s sin (6/2)

Трехслойная чисто неявная

+ s(l-cose)] }x x{2[n-s(l-cose)]}

дгу =

Линейный

метод

конечных

элементов/

Кранк -

Николсон

-i--

- aLx

(2 - 3s) + cos 8(1+3s)

(2 + 3s)-f cos 8 (I - 3s)

* Ошибка аппроксимации была выражена исключительно через Лх и производные по х, как в методе модифицированного уравнения (п. 9.2.2). Таким образом, алгебраическая схема эквивалентна уравнению дГ/д -адГ/дх + Я (Г)=0.

где ошибка аппроксимации определяется формулой

= [Т - -12- J/ + О ) (7.7)

Как можно видеть, имеет место согласованность (см. § 4.2) уравнений (7.5) и (7.1).

Исходя из структуры главного члена в выражении для схема ВВЦП будет считаться имеющей первый порядок точности по времени и второй порядок точности по пространству. Однако следует помнить, что это утверждение, строго говоря справедливо только в пределе А/->0, Практически ре-

шения строятся на сетке конечных размеров и величина таких членов, как dTfdt, заранее неизвестна.

Как показывает анализ устойчивости по Нейману (§ 4.3),. коэффициент усиления G выражается формулой

G=145sin2(),

где 5 = (xAt/Ax и 9 = тпАх, При любом значении Q и при 50.5 будет G 1. Следовательно, алгоритм (7.6) будет давать устойчивые решения, если 5 0.5. Ранее мы уже видели (см. п. 4.2.1), что при специальном выборе s=l/6 некоторые члены в выражении ошибки аппроксимации обращаются в нуль, и тогда алгоритм (7.6) дает ошибку аппроксимации порядка 0{М\ Ал:4).

Вышеописанные свойства схемы ВВЦП при ее применении к уравнению диффузии (7.1) суммируются в табл. 7.1. Можно отметить, что форма выражения ошибки аппроксимации, приводимая в табл. 7.1, эквивалентна выражению (7.7). Точность численных решений, строящихся с использованием схемы ВВЦП, показана в табл. 7.3.

7.L2. Схемы Ричардсона и Дюфорта - Франкела

При построении алгоритма (7.6) использование двухточечной односторонней разностной формулы дает вклад первого порядка в выражение ошибки усечения, а использование трехточечной центрированной разностной формулы - вклад второго порядка в то же выражение. Поэтому логическим усовершенствованием алгоритма (7.6) является схема

-2А?---Ш-= (-

предложенная Ричардсоном (см. рис. 7.2). Однако, несмотря на то что схема имеет порядок 0(А<, Ах), анализ ее устой-