чивости по Нейману [Noye, 1983] показывает, что при s,>0 схема безусловно неустойчива. Таким образом, она не представляет практической ценности. Можно отметить, что замечание о неустойчивом поведении относится к уравнению в целом. Если аппроксимация с центральной разностью для производной по времени применяется к уравнению конвекции (9.2), то может быть получен устойчивый алгоритм (9.15).

Схему Ричардсона (7.8) можно модифицировать так, чтобы получить устойчивый алгоритм. Это достигается за счет

замены Г в уравнении (7.8) на 0.5 (ijf + Г/ 0. В результате получается уравнение

-ш---ш-(-

Уравнение (7.9), известное как схема Дюфорта - Франкела (см. рис. 7.2), можно преобразовать так, чтобы получился явный алгоритм

= (ТТ2Г) + ) + (тт1) г- (7.10)

Схема Дюфорта - Франкела является трехслойной по времени во всех случаях, кроме s = 0.5, а в последнем случае она совпадает со схемой ВВЦП. При использовании трехслойной схемы нужно хранить в памяти данные на двух временных слоях и возникает необходимость в альтернативной двухслойной схеме для реализации первого шага по времени.

Применение к уравнению (7.10) анализа устойчивости по Нейману (см. § 4.3) дает коэффициент усиления G, приведенный в табл. 7.1. Так как при любом значении 9 и при 5,>>0 имеем jGj 1, то схема Дюфорта - Франкела устойчива при любом значении At. Однако имеется некая цена, которую нужно уплатить за этот весьма благоприятный результат, касающийся устойчивости. Если в (7.9) подставить точное решение, разложенное в ряд Тейлора относительно (/, п)-го узла, то в результате получится

L-IF+Hat) . + 0(Д/2, А;с2) = 0. (7.11)

Следовательно, для обеспечения согласованности необходимо, чтобы AtlAx ~> О, когда ~> О и Ajc -> О, т. е. для наличия согласованности требуется выполнение условия Д Ах. Однако a{AtlAx) = sAt, а при решении задач о диффузии ожидается, что 5 имеет порядок О (1). Поэтому схема Дюфорта - Франкела согласуется с уравнением (7.1), но будет неточной, если

Явная форма трехслойной дискретизации уравнения (7.1) в общем случае записывается в виде

7.1.3, Трехслойная схема

трехслойной дискретизаци] шсывается в виде

аГГ -f ЬТ] + сТ] - {dU,Tf + eUr) = О, (7.12)

..7/ = (r/ i-2r;-f Г 0/А2.

Параметры а, Ь, с, d 1л е могут быть определены путем разложения каждого из членов уравнения (7.12) в ряд Тейлора относительно узла (/, п) и требования о том, чтобы уравнение (7.12) было согласовано с уравнением (7.1). Примеры подобных процедур даются в п. 3.2.2 и 3.2.3. Эта процедура позволяет переписать уравнение (7.12) в форме, содержащей лишь две варьируемые константы y и р вместо пяти. В результате уравнение (7.12) заменяется на

~ а [(1 ~ )L:cxT} + UxTt] = 0. (7.13)

Разложение членов уравнения (7.13) относительно узла (/, п) указывает на согласованность данного уравнения с уравнением (7.1), причем ошибка аппроксимации выражается формулой

= as Ах (0.5 + у -f Р - -f) + О (А), (7.14)

где S = aAtfAx. В выражении (7.14) все производные по времени заменяются производными по пространству посредством использования исходного уравнения, как это сделано в табл. 7.1.

Ясно, что уравнение (7.13) имеет ошибку аппроксимации четвертого порядка, если постоянная р выражется по формуле

р =-0.5-~Y+1/(125). (7.15)

величина sAt велика. Альтернативная форма выражения ошибки аппроксимации (см. табл. 7.1) показывает, что если s = = (1/12)/2, то схема Дюфорта - Франкела дает ошибку аппроксимации О {Ах), Соответствующая этому точность решения указывается в табл. 7.3.

Все же с практической точки зрения использование схемы Дюфорта - Франкела влечет за собой серьезное ограничение на величину At, даже несмотря на то что это ограничение связано с требованиями точности, а не устойчивости, как это было со схемой ВВЦП.

Из уравнения (7.13) получается алгоритм

+ (тт7)(а-р)7?+р7Г) (7.16)

где KJi = T ,-2Ti + Ti,.

Оказывается, что алгоритм (7.16) обладает лишь условной устойчивостью, причем максимальное значение s, обеспечивающее устойчивость, является функцией у. Это можно установить, применяя к уравнению (7.13) анализ устойчивости по Нейману (см. § 4.3). При этом возникает необходимость решения следующего квадратного уравнения относительно G:

(1 + Y) - G [ 1 + 2 Y + 2s (1 - Р) (cos 0 - 1)] -Ь

+ [у- 2ps (cos 9 - 1)] = 0. (7.17)

Для обеспечения устойчивости необходимо, чтобы было G 1 при любых значениях 9. В результате можно построить график, показанный на рис. 7.3 и демонстрирующий границу

0.50г

Неустойчивое

0.0-

0.30-

Рис. 7.3. Граница области устойчивости для схемы (7.13) и формулы (7.15).

области устойчивости в координатах у и s. При у = О уравнение (7.17) приводит к обусловленному требованием устойчивости ограничению на s( sO.34), более суровому, чем это делает схема ВВЦП. Точность трехслойной схемы (7.13) исследуется в п. 7.1.4.

7,1.4. DIFEX численные результаты применения явных схем

В данном пункте сравниваются результаты применения схемы ВВЦП (п. 7.1.1), схемы Дюфорта - Франкела (п. 7.1.2), а также трехслойной схемы (п. 7.1.3). Все три метода отражены

19 к. Флетчер, т. 1