ЭТИХ случая соответствуют резкому уменьшению ошибки аппроксимации.

2 SUBROUTINE EXTRA(JMAX,МАХЕХ,DELX,PI,ALPH,ТДЕ)

4 С EXACT SOLUTION OF THE TRANSIENT HEAT CONDUCTION PROBLEM

6 DIMENSION X(41),TE(41)

a DO 2 J 1,JMAX

9 AJ e J - 1

10 X(J) DELX*AJ

11 TE(J) 100.

12 DO 1 M 1,MAXEX

13 AM M

14 DAM (2.*AM - 1.)

15 DXM = DAM*PI*X(J)

16 DTM -ALPH*DAM*DAM*PI*PI*T

17 С

18 С LIMIT THE ARGUMENT SIZE OF EXP(DTM)

19 С

20 IFCDTM .LT. - 25.)DTM -25.0

21 DTM EXP(DTM)

22 IF(DTM .LT. 1.0E-10)GOT0 2

23 1 TE(J) TE(J) - 400./DAM/PI*SIN(DXM)*DTH

24 2 CONTINUE

25 RETURN 2S END

Рис. 7.5. Распечатка программы EXTRA.

-LEVEL, 4TH-0RDER SCHEME

JMAX 11 MAXEX* 10 NHAX= 500 ТМАХ 9.00 TST 2.00 GAM 0.00 S .300 ALPH = .lOOE-01 DELT .300E+00 DELX = .lOOE+00

T 9.20 TD 100.00 84.12 69.80 58.45 51.16 48.65 51.16 58.45 69.80 84,12100.00 T 9.20 TE>:100.00 84.12 69.80 58.45 51.17 48.66 51.17 58.45 69.80 84.12100.00

RMS DIF .4169D-02

Рис. 7.6. Типичная выдача результатов по программе DIFEX (начало).

При 5 = 0.3 схема ВВЦП обнаруживает скорость сходимости второго порядка. Приближенное значение скорости сходимости было получено по данным об отношении величин среднеквадратичной ошибки на двух сетках: Ах = ОЛ и Ал: = 0.05, т. е.

г = Ig (RMSA;c=0.l/lg(RMSA;c-0.05).

Схема Дюфорта - Франкела значительно точнее схемы ВВЦП.

Таблица 7.2. Параметры, используемые в программе DIFEX

Это связано с близостью данного значения s к специальному S = (1/12)/2= 0.289, для которого достигается скорость сходимости четвертого порядка. Трехслойная схема четвертого порядка (при у = 0) оказывается менее точной, чем схема Дюфорта- Франкела на грубой сетке {Ах = 0.20), Обычная тенденция для схем повышенного порядка состоит в том, что для выявления своих преимуществ в точности они нуждаются в более мелких сетках. По мере возрастания у точность трехслойной схемы четвертого порядка на заданной сетке уменьшается, хотя четвертый порядок скорости сходимости приближенно сохраняется. При 5 = 0.41 и Y=1.0 трехслойная схема четвертого порядка обнаруживает точность, сравнимую с точностью схемы Дюфорта - Франкела на грубой сетке, но является существенно более точной на мелкой сетке.

Результаты, показанные в табл. 7.3, свидетельствуют о том, что построение схем повышенного порядка путем уменьшения

Таблица 7,3. Численные решения уравнения (7.1) с помощью явных схем

ошибки аппроксимации не представляет серьезных трудностей. Такие схемы, как правило, дают повышенную точность на мелкой сетке, однако зачастую при ужесточении ограничений, связанных с устойчивостью. По отношению к нелинейным уравнениям, определяющим движение жидкости, повышение точности может оказаться не столь большим, как для уравнения диффузии, обладающего в данной ситуации весьма гладким решением.

§ 7.2. Неявные методы

В случае применения неявных схем пространственный член dTfdx в уравнении (7.1) аппроксимируется, по меньшей мере частично, на неизвестном временном слое (л+1). На практике это приводит к возникновению взаимосвязи уравнений для каждого из узлов (/, м+ 1) на (м-- 1)-м временном слое и к необходимости решать систему алгебраических уравнений для продвижения решения во времени.

7.2. А Чисто неявная схема

конечно-разностное представление

Простейшее неявное уравнения (7.1) имеет вид

(7.19)