Для получения полезного алгоритма уравнение (7.19) переписывается в виде

-sfftl + (1 + 2s) ГГ - sTltl = Tl

(7.20)

В результате разложения в ряд Тейлора относительно (/, м)-го узла выясняется, что эта схема имеет ошибку аппроксимации

?=-f(>+i)[#r + o(.)-

Полученное выражение имеет тот же порядок, что и для явной схемы ВВЦП, соответствующей уравнению (7.5) при 8ф1/6, хотя постоянный множитель здесь несколько больше.

С помощью анализа устойчивости по Нейману (см. § 4.3) получается следующее выражение для коэффициента усиления:

G = [l +2s(l -cose)]

Если s > О, то при любом G имеем G 1. Это означает, что схема (7.20) безусловно устойчива, выявляя тем самым свое очевидное преимущество перед условно устойчивой явной схемой (7.5).

Однако для решения уравнения (7.20) необходимо рассмотреть как все узлы /, так и соответствующие уравнения. Таким образом, может быть выписана матрица уравнений для неизвестных значений Tj:

{l+2s)

~5 (1+25) -5

(l+2s) ~s

(7.21)

В уравнении (7.21) имеем

d2 = T + sn

где значения Г? и Г/ известны из граничных условий Дирихле. Очевидно, что система уравнений (7.21) является трехдиагональной. Следовательно, для решения уравнений (7.21) можно воспользоваться алгоритмом Томаса (см. п. 6.2.2), требующим выполнения 5(/-2)-4 операций (учитываются только операции умножения и деления).

На практике с учетом необходимости формирования уравнений решение неявной системы (7.21) с помощью алгоритма Томаса требует, как правило, вдвое большего компьютерного времени, чем решение того же числа явных уравнений (7.6). Шаг по времени может быть сделан существенно большим, чем предельное значение шага по времени для явной схемы, т. е. д/ехр = O.SAjVotj однако точность решения будет при этом меньше.

7.2.2, Схема Кранка - Николсона

Альтернативный вариант неявного алгоритма для решения уравнения (7.1) соответствует схеме Кранка - Николсона (см. рис. 7.2), которая имеет вид

1111 а (0.5L..r? -f 0.5L,.rr О = О, (7.22)

~ Ах

Фактически эта схема аппроксимирует пространственную производную на слое времени, промежуточном между п-ы и (м + + 1)-м слоями, т. е. на временном слое (м-f 1/2). Если выполнить разложение в ряд Тейлора относительно точки (/, п -f + 1/2), то мы найдем, что уравнение (7.22) согласуется с уравнением (7.1) при ошибке усечения порядка 0(А/2, Ал:). Последнее представляет собой значительное улучшение по сравнению как с чисто неявной схемой, так и со схемой ВВЦП, поскольку обе они имеют точность лишь первого порядка по времени.

Анализ устойчивости по Нейману показывает, что схема Кранка - Николсона является безусловно устойчивой (см.

табл. 7.1). Перестановка членов уравнения (7.22) дает алгоритм

- 0,5sTlll + (1 + 5) ГГ - 0,5sTftl =

= 0.5sTU + (1 - 5) Г? + 0,5sTUu (7.23)

который можно сравнить с алгоритмом (7.20). Если последовательно рассмотреть все пространственные узлы, то соотношение (7.23) даст трехдиагональную систему уравнений, эффективное решение которой может быть выполнено с помощью алгоритма Томаса.

Вследствие присущего ей второго порядка точности по времени схема Кранка - Николсона составляет основу очень популярного метода решения параболических дифференциальных уравнений в частных производных. Свойства схемы Кранка - Николсона суммируются в табл. 7.1.

Можно получить обобщение уравнения (7.22), если написать

-ir- - [(1 - Р) -z + РххГГ1 = о, (7.24)

АТ-ТГ-Т } и 0<Р<1.

В случае р = О получается схема ВВЦП, при р = 0.5 - схема Кранка - Николсона, а при р = 1.0 -чисто неявная схема.

Анализ устойчивости по Нейману, проводимый для уравнения (7.24), показывает возможность устойчивого решения при

<-ТГ если 0<Р< 1/2; нет ограничений, если 1/2р1.

Можно отметить, что схема Кранка - Николсона располагается на границе области безусловно устойчивого режима. Для многих стационарных задач гидроаэродинамики эффективный путь состоит в решении эквивалентной нестационарной задачи вплоть до такого состояния, когда решение больше не изменяется (см. § 6.4). Однако нередко в различных частях вычислительной области решение приближается к стационарному состоянию с существенно различными скоростями; тогда говорят, что уравнения являются жесткими (см. § 7.4). К сожалению, схема Кранка - Николсона в этой ситуации часто приводит к осциллирующему решению, которое, будучи в принципе устойчивым, приближается к стационарному состоянию довольно медленно.