гично нижнему положению маятника). Действительно, увеличим подач Яа AQ; при этом давление, развиваемое вентилятором, уменьшается сопротивление дросселя возрастает. Это вызовет торможение потока ! уменьшение подачи и возвращение режима в точку О. Аналогично го кам пересечения А Аз, В, d, D характеристик соответствуют статнчес-ки устойчивые режимы. В этих точках тангенс k угла наклона касат ной к характеристике дросселя больше тангенса F угла наклона

тельной к характеристике

Рис. 3.60. Исследование статической устойчивости работы машины на сеть

лятора, что является п] статической устойчивости си<

В точке Аг режим статически неустойчив (аналогично верхиеиу положению маятника). Здесь k<F. Однако статически усто. чивый режим может оказаться динамически неустойчивым, колебательным подобно раскачке системы с отрицательным треня< ем. Рассмотрим этот вопрос.]

Пусть рк.а/р1а = /(Ск) - ОТНОСи/

тельиая характеристика веитилк-тора (ри и рк.. - абсолютные полные давления перед и за вентилятором). Предположим, что рассматриваемая система прявли-жеиио может быть заменена системой с одной степенью свободы, (рнс. 3.59) движется

Пусть воздух в трубопроводе / (рнс. 3.59) движется ускорение. Тогда давление ри перед вентилятором будет меньше давления poii входе из-за преодоления силы инерции воздуха во входном труб воде.

По теореме об изменении количества движения d(mv)fdt=0, тЛ /ri=PoQi/i -масса воздуха во всасывающем трубопроводе; v=Qo/Bi- скорость воздуха; Ф -сила, равная Ri(po-Pia). Отсюда имеем: pia= в.рв-L,xdQoldt. Величина tai=Poi/fi называется акустической тссой

В вентиляторе давление возрастает от рш до Рка=Р1а/ССи). ДавЛИ ние рба в объеме 4 будет равно PKA-LaidQ /dt, где 1в2=рк1г/з. Под-* ставляя в выражение для ре а значения pia и Рк.а, получаем первое урав- нение движения рассматриваемой системы:

Lad<?R/* = f (Q )-P6.

где Z.a=f.ajfCQK)4-Z.a2: f ССк) = Рв(С? )-Ро.

Второе уравнение можно получить, принимая во внимание, что рость изменения давления dpfdt в объеме V перед дросселем iipoe >P

циональна разности секундных расходов Qk -воздуха, поступающего в этот объем, и Q - вытекающего на него. Это уравнение имеет вид

(3.106)

,.де Сл= IV(Р)-акустическая гибкость (с -скорость звука). Используем уравнение характеристики сети:

Рб = Ф(Сй).

(3.107)

Исключая из уравнений (3.106) н (3.107) расход Qk, получаем дифференциальные уравнения, описывающие движение в системе

LdQJdt = F{Q-P6: . Cadpc/dt = Q - (Pi{P6),.

(3.108)

где ift - обращение функции (3.107).

Равновесные режимы определяются условиями йОк/й/=0; dpti/dt= =0, откуда Р(Ои)-рц=0; Qk-cpi(p6)=0. Число и значения действительных корней этой системы определяют число равновесных режимов и значения их параметров. Геометрически эти параметры определяются точками пересечения характеристик компрессора и сети (рис. 3.60).

Приведем систему (3.108) к одному уравнению второго порядка. Перенесем начало координат в точку равновесия Q, и обозначим отклонения расхода Qk и давления ре от их равновесных значений через Q и р. Разлагая F(Q + Q) и <f>i(p6+p) в степенные ряды н ограничиваясь членами первого порядка, получаем:

LdQldt=FQ-p; C=Q-4>;p.

Обозначим 1/ср=А, тогда F и А - соответственно тангенсы углов наклона касательных к характеристикам вентилятора и сети в рабочей точке. Исключая переменную р, получаем дифференциальное уравнение второго порядка

LadQldi + bdQ/dt+dQ = 0, (3.109)

где Ь=-[Р-La/(ftCa)]; d{k-F)/{kC).

Уравнение (3.109) аналогично уравнению колебаний подпружиненной массы La с коэффициентом скоростного трения Ь и жесткостью пружины d. Равновесный режим по уравнению (3.109) статически устойчив, если жесткость d положительна, т.е. если k>F. Этот вывод получен ранее из геометрических соображений для точки О (рнс. 3.60). Если Жесткость d отрицательна, т.е. ft<f, то система статически неустойчива (точка Al на рис. 3.60).

Пусть d>0, т.е. система статически устойчива. Система, описывае-*ая уравнением (3.109), будет устойчива также и динамически, если

скоростное тренне положительно, т.е. коэффициент 6>0. Отсюда ус вне устойчивости

F<LJ(kC). (3.J

При этом условии в системе происходит рассеяние энергии, свободные] колебания будут с течением времени затухать и помпаж невозможен! Если же 6<0, т. е.

F>LJ(kCs).

то трение отрицательно, в системе происходит накопление энергии, бые колебания расхода в системе будут с течением времени пара-и помпаж обязательно возникнет на восходящих участках характеристик ки вентилятора, где выполняется условие (3.111). Обычно при возраста НИИ амплитуды колебаний рабочая точка (точка пересечения характери- Щ стик вентилятора и дросселя) в процессе колебаний перемещается по характеристике машины вправо и влево и попадает в области с меньшими значениями F, где F<LJkCa; в этих областях 6>0 и происходит рассеяние энергии. Амплитуда колебаний будет возрастать, пока не установится баланс между накоплением, энергии в областях, где 6<0, и рассеянием энергии в областях, где 6>0. В явном виде условие устойчивости имеет вид

f<La/(ftCa),

Plch

Устойчивость возрастает при увеличении h, уменьшении I2 и площад( fii и Ог- Квадрат угловой частоты колебаний

если ft>f, то 03 =

; период колебании 7=2я/ш=

=2я/ У иС.

Помпаж рассмотренного вида (при 6<0) называется мягким, нако бывают случаи, когда в точке статического равновесия 6>0, а колебаниях 6<0. В этих случаях при внезапных изменениях реж работы может возникнуть так называемый жесткий помпаж-наив опасный, так как он сразу создает большую амплитуду колебаний стемы; жесткий помпаж может возникать даже при работе системы на нисходящих участках характеристики вентилятора; необходимое условие его появления f >0. В процессе помпажа значения рв и Qb отличаются от равновесных значений и точка со значениями ръ и Qk (так назы ваемая изображающая точка) описывает на плоскости Qp некотору

крчаую, называемую фазовой траекторией, характеризующую переходный процесс в системе.

Поделив почленно уравнение (3.106) на (3.105), получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий.

Рассмотрим графический метод его решения. Пусть точка М\ с координатами Qki и рб1 представляет состояние системы (рис. 3.61). Изменяем в LjCa раз длину отрезка Mi/4i = Qk-ф1(рб), откладывая его от точки

Рис. 3.61. Метод графического построения переходных процессов

М,. Пусть это будет отрезок М,Лз. Проведя из точки Л4, как из центра радиусом AiM элемент дуги через точку М получим точки Мз и Mi. Продолжая указанное построение, последовательно строим фазовую траекторию, движение изображающей точки по которой происходит против часовой стрелки. Анализ показывает, что, выбрав масштаб по оси ординат отличающимся в т раз от масштаба, по оси абсцисс, нужно изменять отрезок М\А\ в ктЬг/Са раз.

Рассмотрим конкретную задачу: построим переходные процессы, выделим помпажные колебания, определим их период и проследим, как сказывается изменение положения дросселя на работе системы. Выберем вентилятор с подачей 1 mVc и максимальным давлением около 1000 Па. Из рис. 3.62 видно, что масштаб по оси ординат в 1000 раз больше, чем по оси абсцисс. Пусть Zi=0,25 м, /2 = 1 м, Qi = Q2=0,5 м; тогда /-8=1,8 кг/м*; Са=0,18-10-5 мЧ7кг. Период помпажных колебаний Г=2я/со=2я Z-aCa=0,01 с. Рассмотрим графическое построение переходного процесса. Поскольку /п=1000, получаем ft=mLa/Ca= 1.

8-559

Таким образом, длину отрезка MA изменять не следует. Из рис. З.бЯ видно, что при выбранной степени прикрытия дросселя в системе понЗ паж невозможен, так как любые начальные отклонения затухают. Пр некотором дальнейшем прикрытии дросселя на плоскости (рис. 3.63) фазовые траектории принимают вид замкнутой кривой-э так называемый предельный цикл, соответствующий периодическим

жениям в исходной системе, т.

характеризующий помпажные ко лебания.

Поскольку соседние тра€ рии сматываются с внутр предельного цикла, он являе неустойчивым. Кроме того, име

Рнс. 3.62. Построение переход , процессов на фазовой плоское при устойчивой работе системы

преве/1ьний цикл

Устойчивый предельный цикл

Рис. 3.63. Построение переходных процессов на фазовой плоскости при жестком помпаже

Рис. 3.64. Построение иереходи процессов на фазовой плоско прн мягком помпаже

ся внешний, устойчивый предельный цикл, на который соседние траектории наматываются как изнутри предельного цикла, так и снаружи. Этот цикл характеризует возникающий жесткий помпаж.

При дальнейшем прикрытии дросселя, при переходе рабочей точки на восходящий участок характеристики вентилятора (рис. 3.64) возникает один устойчивый предельный цикл, следовательно, в системе устанавливается мягкий помпаж.

Точка характеристики p=f{Q) машины при n=corst, соответствующая началу автоколебаний в случае уменьшения подачи дросселем, на-з1,гвается границей помпажа. В характеристиках при переменной частоте вращения точки границ помпажа наносятся на каждой дроссельной кри-зои; линия, проведенная через эти точки, является границей помпажа машины при n=var (см. рис. 10.9). Границы помпажа определяются испытанием лопастных машин. При эксплуатации машин значительной мощности выход за границы помпажа, независимо от применяемого способа регуляровання подачи, недопустим.

Задача предупреждения помпажа имеет большое практическое значение и может решаться:

1) созданием конструкций лопастных машин с границей помпажа. по возможяосгя сдвинутой в область малых подач и имеющих напорную характистику без восходящего участка (без седловины ) или имеющих восходящий участок характеристики с наименьшим наклоном. Это достигается разработкой рациональных форм проточной полости и профилей рабочих лопастей машины. Существенное значение имеет количество рабочих и направляющих лопастей;

2) применением специальных противопомпажных устройств, не позволяющих машине переходить границу помпажа. В этом случае устанавливается антипомпажный клапан, настроенный так. что при уменьшении расхода потребителей до значения, соответствующего границе помпажа, он начинает перепуск газа на всас машины или выпуск его в атмосферу. При этом подача машины будет соответствовать границе помпажа. предупреждая его появление. Импульс для приведения в действие антипомпажного клапана берется от трубок полного напора или диафрагм, располагаемых а напорном трубопроводе машины.

Прнмцшнально возможно также создание антипомпажного регулятора, управлшощего движением выходного дросселя или направляющего аппарата.

Для увеличения устойчивости вентилятора на испытательных стен., дах вводится дополнительная емкость, включенная или последовательно, или параллельно основному воздушному тракту. При этом указанная емкость отделяется от основной дополнительным дросселем. Нужно отметить, что при параллельном подключении емкости дополнительный дроссель в стационарном режиме не вносит дополнительных потерь.