К тому, чтобы осреднить два значения f(0, 0) на первом временном слое, /г = О, но вновь вернуться к надлежащему граничному условию в последующие моменты времени. В табл. 3.7 эта стратегия сравнивается с альтернативным путем, состоящим в задании f (О, 0) на первом временном слое с помощью начальных условий. Для данного конкретного примера видно, что стратегия осреднения приводит к более точному решению.

Трехслойные схемы, подобные (7.25), требуют задания информации на двух слоях; поэтому на начальной стадии интегрирования они нуждаются в замене. Роль такой замены должна сыграть двухслойная схема, достигающая той же или более высокой точности. Следовательно, подходящей была бы трехслойная схема второго порядка, подобная схеме Кранка - Николсона. В качестве альтернативного варианта можно воспользоваться схемой первого порядка по времени типа ВВЦП при условии, что второй слой начальных данных рассчитывается на мелкой сетке, тем самым компенсируя первый порядок точности. Для этой цели может быть полезной экстраполяция по Ричардсону (п. 4.4.1).

§ 7.4. Метод прямых

Алгоритмы, разработанные в § 7.1, 7.2, при дискретизации уравнения (7.1) вводят дискретные формулы одновременно как для производной по времени, так и для пространственной производной. Это нередко позволяет добиться исключения членов, определяющих соответствующие ошибки аппроксимации, повышая за счет этого порядок точности.

Однако альтернативный подход состоит в том, чтобы пространственный член подвергнуть дискретизации первым, превращая, таким образом, дифференциальное уравнение в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных уравнений для узловых значений. Если в уравнении (7.1) зависимую переменную Т заменить на щ то в результате вышеописанных действий получим

duj a(Uf -2Uf + Uf,i)

L (/-. J (7.41)

где для дискретизации du/dx в уравнении (7.1) было использовано трехточечное конечно-разностное выражение второго порядка. Процесс перехода от уравнения (7.1) к уравнениям (7.41) является примером применения метода прямых [Holt, 1984], или полудискретизации.

Привлекательная черта метода прямых состоит в том, что для решения полудискретной формы исходного дифференциального уравнения в частных производных можно воспользоваться

различными методами решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений [Gear, 1971; Lambert, 1973; Seward et. al., 1984]. Следует, однако, подчеркнуть, что построение полудискретной формы вносит ошибку, связанную с пространственной дискретизацией. В результате этого наилучшим вариантом при выборе метода решения получаемой системы оказывается обычно алгоритм более низкого порядка, чем если бы это была система обыкновенных дифференциальных уравнений, не связанная с аппроксимациями. Прц решении задач с начальными данными, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, наиболее эффективными обычно оказываются либо линейные многошаговые методы, либо методы Рунге - Кутты.

Последовательное применение соотношения (7.41) ко всем внутренним узлам приводит к системе уравнений, записываемых в виде

rfu/d/ = Au. (7.42)

Если бы пространственный член уравнения (7.1) был нелинейным, то уравнение (7.42) можно было бы записать в более общей форме

dn/dt = F. (7.43)

Скалярные эквиваленты векторных уравнений (7.42) и (7.43) имеют вид

du/dt = Хи, (7.44)

du/dt = /. (7.45)

Применяя к уравнению (7.45) линейный многошаговый метод общего вида, можно написать

т. т

1а, + = д/Ер,г, (7.46)

где ищется решение Если Рт = О, это решение получается в явной форме; если же Pw Ф О, то (7.46) представляет собой неявный алгоритм для определения

Простейший случай, когда т= 1, приводит к соотношению

а.а + а.и = (РоГ + PifO, (7.47)

которое охватывает, в частности, схему Эйлера (ai = -ао = 1, Ро= 1, Pi=0),

U-U = tf, (7.48)

Последняя формула, если ее применить к линейной системе (7.42) в форме (7.41), совпадает со схемой ВВЦП, соответст-

вующей уравнению (7.5). Соотношение (7.47) охватывает также и трапецоидальную схему

п+х (о.5 + о.5Г0. (7.49)

В применении к (7.41) трапецоидальная схема совпадает со схемой Кранка - Николсона в форме (7.22). Двухшаговый вариант схемы (7.46) имеет вид

а.и + aju - + aot/ = М (РоГ + хГ + (7.50)

При применении к (7.41) соотношения (7.50) при Р2 = 0 схема (7.50) позволяет получить явное решение / и совпадает со схемой (7.12). Если Р2=50, то схема (7.50) в применении к (7.41) охватывает как схему (7.25), так и схему (7.26). Например, схема ТСЧН (п. 7.2.3) соответствует выбору аг = 1.5, ai = -2.0, о = 0.5, ро = р1 = О, Р2 = 1.0. Фактически все схемы, разработанные в § 7.1 и 7.2, могут рассматриваться как принадлежащие классу линейных многошаговых методов.

При решении обыкновенных дифференциальных уравнений используют линейные многошаговые методы более высокого порядка (т. е. включающие большее число шагов), и притом в варианте предиктор - корректор. В этом случае явная схема обеспечивает предиктор, а неявная схема - соответствующий корректор [Gear, 1971]. Однако если стратегия высокого порядка применяется к системе уравнений, полученных в результате полудискретизации дифференциального уравнения в частных производных, например к системе (7.41), то для хранения информации о векторах u+i и F необходим большой объем памяти. Кроме того, использование схемы высокого порядка для маршевого продвижения по времени было бы неэффективным, так как если точное решение не является очень гладким, то преобладающее влияние на ошибки решения будет, вероятно, оказывать дискретизация низкого порядка пространственных членов.

Необходимость избежать хранения в памяти большого числа решений, соответствующих предшествующим шагам по времени, побуждает воспользоваться одношаговыми методами решения полудискретных систем, такими, как методы Рунге - Кутты. В применении к уравнению (7.45) схема Рунге -Кутты общего вида, содержащая R этапов, может быть записана в форме

un+iuAtZcrf. (7.51а)