www.chms.ru - вывоз мусора в Жуковском
Читаемые статьи

Читаемые книги

Ссылки


Главная >  Вычислительная гидроаэродинамика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 [ 120 ] 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165

малых шагах по времени, когда погрешность решения определяется преимущественно пространственной дискретизацией, конечно-элементная схема Кранка - Николсона дает более точные результаты, чем конечно-разностный метод, построенный по аналогичной схеме. Происхождение ошибки аппроксимации второго порядка, показанной в табл. 9.1, связано с трактовкой члена АР на основе модифицированного уравнения (п. 9.2.2). Если величины Сии имеют порядок 0(1), то член играет преобладающую роль при определении ошибки аппроксимации. Конечно-элементная схема Кранка - Николсона (9.20) является безусловно устойчивой (табл. 9.1). Как видно из табл. 9.1, при применении к уравнению диффузии типичные неявные схемы являются безусловно устойчивыми. Однако применение неявных схем к гиперболическим уравнениям не обязательно обеспечивает их преимущество. При использовании неявной схемы на заданном временном слое п -f I получается некая система связанных между собой уравнений. Поэтому любое возмущение, связанное, например, с округлением и возникающее в одном из узлов (/, м), влияет на решение во всех узлах (/, пI) на следующем временном слое. Такое поведение физически соответствует дифференциальному уравнению в частных производных параболического типа (п. 2.3.2), подобному уравнению диффузии.

В противоположность вышесказанному возмущения в решениях для уравнений в частных производных гиперболического типа (п. 2.2.2) распространяются с конечными скоростями. При решении дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа с помощью неявных схем обычно возникают существенные неточности, если только величина At (или величина С) достаточно велика. Если же величина At мала, т. е. если для уравнения конвекции 1.0, то применение неявных методов не обеспечивает преимущества в устойчивости, хотя оно и может дать некоторое преимущество в точности, как это имеет место с конечно-элементной схемой Кранка - Николсона.

9.1.5, Линейная конвекция усеченной синусоидальной волны

Чтобы проиллюстрировать особенности применения различных схем при решении уравнения (9.2), рассмотрим распространение синусоидальной волны. Это значит, что уравнение (9.2) должно решаться при начальном условии

Г=81п(10яа:) при 0<л:<0.1,



И при граничных условиях

f(0, 0 = 0, 0 = 0.

Точное решение, справедливое вплоть до t = 0.9/и, имеет вид

{=0, 0<л:<а/,

= sin [Юл (х - ut)l ut <xut + 0,U (9.24) = 0, ut + ОЛ <л:<1.0.

Кривые точного решения для значения и = ОЛ, определенные при / = 0 и 8, показаны на рис. 9.2. Синусоидальная волна распространяется без уменьшения амплитуды со скоростью = 0.1.

0.8 Точное г решение

Точное I решение t 8.e

е.2 8.

8.6 .1 t

0.4 .J

Точное

решение

t e.tf

Точное М решение / \: t-e.e/ Vj

).6 8.8 1.6

J.2 8.4 8.6#0.8 1.в

Рис. 9.2. Решение уравнения конвек- Рис. 9.3. Решение уравнения конвекции с помощью схемы с разностями ции по схеме Лакса - Вендроффа при

против потока.

С = 0.8.

Различные схемы, описываемые в п. 9.1.2-9.1.4, реализуются в программе TRAN, распечатка которой показана на рис. 9.8, при а = 0. Эта программа обеспечивает построение численных решений одномерного уравнения переноса и описана в п. 9.4.3. В применении к данной конкретной задаче точное решение (9.24) рассчитывается с помощью подпрограммы EXSOL (рис. 9.9).

Численные решения были получены для 41 точки, расположенной равномерно в пространстве на интервале О х 1.0, при числе Куранта С = 0.8. Решение, полученное с помощью программы TRAN при = 8.0 (т. е. после 40 шагов по времени) в результате применения схемы (9.10) с разностями против потока, показано на рис. 9.2. Численное решение имеет гладкую форму, однако в сравнении с точным решением оно оказывается

24 К Флетчер, т. 1



1.8

t-8.e

размазанным (или диффузно сглаженным); это обстоятельства соответствует введению членов с искусственной вязкостью, подобно тому, как это имеет место в уравнении (9.13).

Решение с помощью схемы Лакса - Вендроффа (9.16) показано на рис. 9.3 для значений = 8.0 и С = 0.8. Можно напомнить, что структура схемы Лакса - Вендроффа эквивалентна структуре схемы ВВЦП (являющейся неустойчивой) при добавочных диффузионных членах, соответствующих фoJ)мyлe ocadd = О.ЗСиАх,

Решение Лакса - Вендроффа характеризуется первичной волной уменьшенной амплитуды, распространяющейся медленнее точного решения, а также появлением вторичных волн в

спутном следе первичной волны. Если начальное усло-Точное вне (9.23) представить в фор-решение ме ряда Фурье, а индивидуальные слагаемые (моды) решения восстановить так, чтобы получить решение Лакса - Вендроффа при t = 8.0, то упомянутый спутный след -соответствовал бы коротковолновым слагаемым, распространяющимся медленнее чем основное слагаемое. Волновой пакет, следующий за основным решением, принято называть дисперсионным следом . Эта дисперсия будет обсуждаться в § 9.2. Можно отметить, что при С = 1.0 как схема с разностями против потока, так и схема Лакса - Вендроффа воспроизводят точное решение. В то же время неявные схемы, подобные конечно-разностной схеме Кранка - Николсона, этого не делают. Конечно-разностное решение Кранка - Николсона при / = 8.0 и С = 0.8 показано на рис. 9.4. Это решение содержит первичную волну, распространяющуюся медленнее точного ре шения, а также существенный дисперсионный след.

Соответствующее конечно-элементное решение Кранка - Николсона несколько точнее, чем решение, показанное на рис. 9.4; его максимальная амплитуда несколько больше, а дисперсионный след-меньше. Однако при С = 0.8 и и = ОЛ преобладающее влияние на ошибки оказывают члены, пропорциональные При С = 0.1 и при больших значениях и более важную роль начинают играть члены четвертого порядка по простран-


Рис. 9.4. Решение уравнения конвекции по схеме Кранка - Николсона при С = 0.8.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 [ 120 ] 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165


Чем хороши многотопливные котлы?



Нетрадиционное отопление



Детище отечественной Оборонки



Что такое автономное индивидуальное отопление?



Использование тепловых насосов



Эффективное теплоснабжение для больших помещений



Когда удобно применять теплые полы
© 1998 - 2024 www.300mm.ru.
При копировании материала обязательно наличие обратных ссылок.
Яндекс.Метрика