www.chms.ru - вывоз мусора в Жуковском
Читаемые статьи

Читаемые книги

Ссылки


Главная >  Вычислительная гидроаэродинамика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 [ 67 ] 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165

Дайте комментарии, касающиеся точности в расчете на одну узловую неизвестную, в связи с корректностью предполагаемого приближенного решения. В этот анализ включите формулу (5.110) с малыми значениями NEX, так как это решение является одновременно и решением по Галёркину [Fletcher, 1984].

Метод конечных объемов (§ 5.2)

5.4. Постройте решения уравнения Лапласа в области, показанной на рис. 5.4, используя программу FIVOL, для следующих значений параметров:

(a) г = 0.10, г = 4.00, Гу=1.00, гОЛО, в = 0, 02 = 90;

(b) г = 0.10, г = 8.00, Гу=1.00. Г2=0,10, в = 0, 02 = 90.

Для каждого варианта получите результаты на трех сетках: JMAX = = KMAX = 6, И, 21. Сравните точность и скорость сходимости с результатами, приводимыми в табл. 5.5.

5.5. Модифицируйте программу FIVOL применительно к решению уравнения

дФ дх

, дФ ( дЧ , дЧ \

Источниковый член S может учитываться таким же образом, как и член dqidt в уравнении (5.23). Испытайте программу для случая S = [cos (29) - - sin(29)]/r2 путем получения решений для тех же самых значений параметров, которые использовались для составления табл. 5.5. и а = 1. Сравните решения с точным решением 0=(sin0)/r2. Граничные условия для выбранного выше значения S задаются формулами (5.31).

5.6. Метод конечных объемов, описанный в § 5.2, необходимо применить к ситуации, когда на линии WX задается граничное условие Неймана, а именно

WX wx

Остальная часть формулировки задачи та же, которая была дана в § 5.2, при том ,же точном решении.

Для получения уравнений, справедливых на линии WX, воспользуйтесь той же процедурой, которая показана на рис. 5.5, но при этом используйте половинный конечный объем, центрированный на WX и лишь простирающийся внутрь вычислительной области. Соотношения, эквивалентные (5.34), могут быть получены непосредственно и аппроксимироваться так же, как в программе FIVOL, за исключением того, что значение дф1дх\}хх можно получить из граничного условия. Член дФ1дх\}хх удобно вычислить с помощью трехточечной конечно-разностной аппроксимации, поскольку линия WX совпадает по направлению с осью х. Сделайте необходимые изменения в программе FIVOL и испытайте при тех же условиях, какие были показаны в табл. 5.5.

Метод конечных элементов и интерполяция (§ 5.3)

5.7. Примените линейную и квадратичную конечно-элементную интерполяцию к функции

=в (1 + sin пх) в~2 в диапазоне О < jc < 1.0. 14 К Флетчер. т. I



/12 14, / 0.5 0.5 \ , /1 2 1 \

ATTeJ а7A7j -да ~ а]?aFJ-

5.11. Модифицируйте программу STURM так, чтобы она была пригодна для граничных условий вида

(0) = а, {)-Ь.

Это потребует изменений в вычислении Ьт, / и при /п = /, принимая во внимание все ненулевые вклады, вносимые в соотношение (5.73). Кроме того.

Получите значения интерполированной функции для 3, 5, 9 и 17 равномерно распределенных узловых точек внутри вычислительного интервала. Вычислите среднеквадратичную ошибку на основе 20 равномерно распределенных точек в интервале 0x1.0 и покажите, что достигаются теоретически предсказанные скорости сходимости.

5.8. Для функции, рассмотренной в задаче 5.7, выполните линейную и квадратичную конечно-элементную интерполяцию на сетке, растущей по закону геометрической прогрессии с показателем 1.2, для следующих вариантов

(О JC Хтгх):

(a) Ах = 0.2, 0.24, 0.288, 0.3456, ... ;

(b) Ajc = 0.1, 0.12, 0.144, ... ;

(c) Ал: = 0.05, 0.06, 0.072, ....

Завершите сетку, как только станет л:> 1.0. В случае квадратичной интерполяции расположите каждую из средних точек так, чтобы A:y j = 0.5 + + х) и т. д. Вычислите среднеквадратичные ошибки на основе 201 равномерно распределенных точек и сравните со случаем интерполированного решения с приблизительно тем же числом равномерно распределенных внутри данной области точек. Рассмотрите поведение решения и вклады в среднеквадратичную ошибку в различных частях вычислительной области и определите, может ли интерполированное решение, имеющее заданную точность, быть построено более экономичным образом за счет избирательного расположения узловых точек.

5.9. Получите решения с линейной и квадратичной интерполяцией на конечных элементах для функции

= (1 Н- sin пх) е~ sin (пу)

в вычислительной области 0<л:<1, Oi/l. Вычислите среднеквадратичную ошибку на однородной сетке, в пять раз более мелкой, чем самая мелкая сетка с узловыми точками. Получите среднеквадратичную ошибку для того же числа элементов, которое указано в табл. 5.7, и сравните точность и скорость сходимости с результатами, приведенными в табл. 5.7.

Метод конечных элементов; уравнение Штурма - Лиувилля (§ 5.4)

5.10. Как указано в приложении А.2, вклады в различные одномерные конечно-элементные операторы соответствуют формулам

If 1 f If (1Фь

Покажите путем вычисления интегралов, что в случае линейных элементов на однородной сетке вышеперечисленные операторы, будучи центрированы в -м узле, имеют значения



перед решением с помощью подпрограмм BANFAC/BANSOL необходимо будет провести некоторую перестройку трехдиагональной системы уравнений. Испытайте сделанную модификацию путем численного решения уравнения

dy , - г: (, 25я2 \ (Ьпх\

с граничными условиями (0) = 1, dyldx({) = -5л/12 в интервале О л: < < 1.0. Эта задача имеет точное решение у = со8(5ях/6). Получите решения как с помощью линейной, так и квадратичной интерполяции при размерах сетки, указанных в табл. 5.10, и сравните достигаемую точность и скорость сходимости.

5.12. Примените метод Галёркина с конечными элементами, линейной и квадратичной интерполяцией к решению уравнения

--- = 0

с граничным условием (0) = 1.0 в интервале О л: 1.0. Эта задача имеет точное решение у == ехр х. Решите неявные уравнения, используя подпрограммы BANFAC/BANSOL, как в программе STURM. Получите решения на однородной сетке с прогрессирующим измельчением, пока среднеквадратичная точность не станет приближенно равной значениям, указанным в табл. 5.3. Прокомментируйте относительные достоинства, такие, как точность и вычислительная эффективность использования локальных аппроксимирующих функций низкого порядка, как в методе конечных элементов, и глобальных аппроксимирующих функций высокого порядка, как в традиционном методе взвешенных невязок (см. § 5.1).

Метод конечных элементов ~ другие приложения (§ 5.5)

5.13. Получите решения для течения вязкой жидкости в канале прямоугольного сечения, используя программу DUCT на сетке ИХ И, при различных значениях Ь/а, пока решение на центральной линии, проходящей по меньшему размеру, не станет с точностью в 1 % среднеквадратичной ошибки совпадать с одномерным параболическим профилем, а именно w =1.5(1-

5.14. Модифицируйте программу DUCT для решения уравнения Лапласа в области О 1.0, О г/ 1.0 при граничных условиях

W {х, 0) = cos (0.5ял:), w(\, у) = 0, w (х, 1) = е cos (0.5ял:), dw

(О, /)=0.

Эта задача имеет точное решение w = со5(0.5яА:)ехр(0.5яг/). Если к решению задачи применить метод конечных элементов, то расчет уравнений Галёркина, центрированных на линии л: = О, будет связан с интегрированием лишь по двум соседним элементам. Для однородных граничных условий Неймана формула (5.101) остается в силе, так как все члены, возникающие после интегрирования по частям, равны нулю. Покажите, что расчет уравнений Галёркина по двум соседним элементам не вносит изменений в L, однако вместо формул (5.104) и (5.105) следует использовать выражения



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 [ 67 ] 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165


Чем хороши многотопливные котлы?



Нетрадиционное отопление



Детище отечественной Оборонки



Что такое автономное индивидуальное отопление?



Использование тепловых насосов



Эффективное теплоснабжение для больших помещений



Когда удобно применять теплые полы
© 1998 - 2024 www.300mm.ru.
При копировании материала обязательно наличие обратных ссылок.
Яндекс.Метрика