В приводимой выше последовательности формул величины 6 и R играют роль псевдоневязок, а значение величины р) служит критерием близости к сходимости.

Различные варианты выбора N, а следовательно, и W соответствуют различным итерационным схемам, рассмотренным в п. 6.3.1. Таким образом, метод, основанный на применении формул (6.78), может интерпретироваться как основная схема с ускорением по методу сопряженных градиентов. Альтернативный, но очень эффективный вариант предварительного кондиционирования можно построить путем приближенной факторизации матрицы А и расщепления ее на нижнетреугольную и верхнетреугольную матрицы L и U [Jackson, Robinson, 1985].

Для случая конечно-разностной дискретизации стационарного уравнения переноса, не содержащего производной по времени (уравнение (9.81)), результирующая система уравнений, эквивалентная (6.2), не будет симметричной вследствие влияния дискретизированных членов с первыми производными идТ/дх и идТ/ду. Метод сопряженных градиентов может быть применен и к этому случаю при надлежащей модификации [Axelsson, Gustafsson, 1979].

Одна из таких схем под названием ORTHOMIN, построенная в работе [Vinsome, 1976], описывается нами здесь. В принятых автором обозначениях формулы (6.78) заменяются следующими выражениями:

sin) j-lp( ) An,i) (ZA6) P<)

Если сохранить все члены под знаком суммирования в выражении для Р \ то реализация метода потребует значитель-

(6.79)

4) а(+1) = р<+Ур< ), (6.78)

5) p(rt+i) = 5(n+i) ct( +i)p( ). pin+\) \i/p{n+\)

7) Л< +1) = -р

НОГО объема памяти и будет весьма неэкономичнной. На практике схема хорошо работает при i = 0, ..., 4.

В работе [Markham, 1984] проводится сравнение различных вариантов метода сопряженных градиентов с предварительным кондиционированием для несимметричных систем уравнений. Схема ORTHOMIN является эффективной, однако Маркхэм находит, что метод дважды сопряженных градиентов [Fletcher, 1976], а также модификации этого метода обладают большей эффективностью. Тем не менее в работе [Jackson, Robinson, 1985] утверждается, что методы минимальной невязки оказываются эффективнее, чем метод дважды сопряженных градиентов, если решаемая задача обладает значительной степенью несимметричности. Таким образом, если матрица А имеет произвольную форму, то нельзя указать универсально предпочтительного метода сопряженных градиентов.

Имеется возможность симметризовать общую форму матричного уравнения (6.2), заменяя последнее на

AAV = AB. (6.80)

В общем случае данный подход не может быть рекомендован, так как если матрица А в какой-то степени плохо обусловлена, то к матрице АА это будет относиться в еще большей степени при вытекающей отсюда потере точности в процессе решения (6.80) относительно V. Однако в работе [Khosla, Rubin, 1981] уравнения, описывающие поток несжимаемой вязкой жидкости вокруг кругового цилиндра при Re = 100, были решены путем такой симметризации определяющих уравнений, как в (6.80), и применения схемы СНП (п. 6.3.3) Bi сочетании с методом сопряженных градиентов при предварительном кондиционировании. Метод СНП как таковой требует приблизительно 240 итераций для достижения сходимости на сетке 61 X 24, тогда как метод СНП с вышеуказанным дополнением требует для достижения сходимости всего около 40 итераций.

6.3.5. Многосеточные методы

Описываемые здесь методы применимы как к линейным системам (6.2), так и к нелинейным системам (6.1). Типичный вариант метода будет описан первоначально в применении к линейным системам, а в дальнейшем будет описано и его распространение на случай нелинейных систем.

Многосеточные методы имеют дело с последовательностью сеток, m = 1, ..., М, при отношении размеров ячеек сетки Am+i/Am = 0.5. Линейная система, решение которой нужно по-

строить на наиболее мелкой сетке, записывается в виде

дл1ул1 = вл*. (6.81)

Приближенное представление соответствует решению на сетке, ближайшей в последовательности по степени грубости, т. е. V- Подобным же образом решение V , построенное на сетке промежуточного размера, является хорошим приближением к решению на более мелкой сетке, ближайшей в последовательности к данной, т. е. к V+

Если приближенный вариант решения уравнения /m+i\fm-\ri - m-\ri обозначить символом V , так что

дт + lm + l gm + l дт+1ут + 1. а m + l щ

Поправка W и невязка (или дефект) R весьма близко аппроксимируются поправкой и невязкой на ближайшей в последовательности более грубой сетке, т. е. величинами W и R , если только последние обладают достаточной гладкостью, т. е. если амплитуды высокочастотных составляющих малы. Наивысшая частота, поддающаяся представлению на дискретной сетке с ячейкой Дт, равна 2Ат (п. 3.4.1).

Релаксационные итерационные процедуры, подобные процедурам Якоби, Гаусса - Зайделя и ПСР, описание которых было дано в п. 6.3.1, на протяжении нескольких итераций удаляют высокочастотные компоненты. Но вот удаление низкочастотных компонент ошибки, а следовательно, и невязки является причиной слабой сходимости релаксационных методов на фиксированной сетке.

Однако низкочастотная компонента на мелкой сетке становится высокочастотной компонентой на грубой сетке. Исходя из этого, применяя многосеточные методы, стремятся воспользоваться высокочастотным сглаживанием, присущим релаксационным методам, следующим образом.

При заданной (т-f 1)-й сетке для сглаживания высокочастотных компонент поправки и невязки делается несколько (v) релаксационных шагов. На основании (6.83) это может быть символически записано в виде

V. iELAX (W -\ А +\ R 0, (6.84)

В случае линейной системы уравнений релаксация может быть применена как к первоначальному уравнению (6.2), так и к